реши №145и 146

Везде \(k\in\mathbb Z\).

Краткие ответы

№ 145

а) \(\displaystyle x=\frac{5\pi}{6}+4\pi k\) или \(\displaystyle x=-\frac{\pi}{6}+4\pi k\);

б) \(\displaystyle x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi k}{3}\) или \(\displaystyle x=\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi k}{3}\);

в) \(\displaystyle x=3\pi k\);

г) \(\displaystyle x=-\frac{2\pi}{3}+4\pi k\).

№ 146

а) \(\displaystyle x=\frac{7\pi}{12}+\pi k\);

б) \(\displaystyle x=8\pi k\) или \(\displaystyle x=-\frac{4\pi}{3}+8\pi k\);

в) \(\displaystyle x=\pi+2\pi k\);

г) \(\displaystyle x=\frac{2\pi k}{3}\) или \(\displaystyle x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi k}{3}\).

Как получены решения

Используем простейшие формулы: \[ \cos u=a \Rightarrow u=\pm\arccos a+2\pi k, \] \[ \sin u=a \Rightarrow u=(-1)^k\arcsin a+\pi k, \] \[ \operatorname{tg}u=a \Rightarrow u=\arctan a+\pi k. \]

Затем выражаем \(x\).

145а.
\[ 2\cos\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt2 \Rightarrow \cos\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt2}{2}. \] \[ \frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi k \Rightarrow x=\frac{\pi}{3}\pm\frac{\pi}{2}+4\pi k. \]

145б.
\[ \sin\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2}, \] поэтому \[ 3x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+2\pi k \quad\text{или}\quad 3x-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+2\pi k. \] Отсюда две серии из ответа.

145в.
\[ \operatorname{tg}\left(\frac{x}{3}+\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt3, \] \[ \frac{x}{3}+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{3}+\pi k \Rightarrow x=3\pi k. \]

145г.
\[ \sin\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}\right)=-1, \] \[ \frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}=-\frac{\pi}{2}+2\pi k \Rightarrow x=-\frac{2\pi}{3}+4\pi k. \]

146а.
Так как косинус чётный, \[ \cos\left(\frac{\pi}{6}-2x\right)=\cos\left(2x-\frac{\pi}{6}\right)=-1. \] \[ 2x-\frac{\pi}{6}=\pi+2\pi k \Rightarrow x=\frac{7\pi}{12}+\pi k. \]

146б.
\[ \sin\left(\frac{\pi}{3}-\frac{x}{4}\right)=\frac{\sqrt3}{2}. \] Значит, \[ \frac{\pi}{3}-\frac{x}{4}=\frac{\pi}{3}+2\pi k \quad\text{или}\quad \frac{\pi}{3}-\frac{x}{4}=\frac{2\pi}{3}+2\pi k. \] Это даёт \(x=8\pi k\) и \(x=-\frac{4\pi}{3}+8\pi k\).

146в.
\[ \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)=-1, \] \[ \frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}=-\frac{\pi}{4}+\pi k \Rightarrow x=\pi+2\pi k. \]

146г.
\[ \cos\left(\frac{\pi}{4}-3x\right)=\frac{\sqrt2}{2}, \] \[ \frac{\pi}{4}-3x=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi k. \] Отсюда получаются две серии: \[ x=\frac{2\pi k}{3} \quad\text{или}\quad x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi k}{3}. \]

Для уравнений с тангенсом найденные значения не дают аргумент \(\frac{\pi}{2}+\pi n\), то есть ОДЗ соблюдено.
Проверка, например, для 145а при \(k=0\), \(x=\frac{5\pi}{6}\): \(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{4}\), \(2\cos\frac{\pi}{4}=\sqrt2\) — верно.