реши № 145,146,147

Во всех ответах ниже \(k\in\mathbb Z\).

Кратко

145.
а) \(x=\dfrac{5\pi}{6}+4\pi k\) или \(x=-\dfrac{\pi}{6}+4\pi k\);
б) \(x=\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{2\pi k}{3}\) или \(x=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{2\pi k}{3}\);
в) \(x=3\pi k\);
г) \(x=-\dfrac{2\pi}{3}+4\pi k\).

146.
а) \(x=-\dfrac{5\pi}{12}+\pi k\) — это тот же ответ, что \(x=\dfrac{7\pi}{12}+\pi k\);
б) \(x=8\pi k\) или \(x=-\dfrac{4\pi}{3}+8\pi k\);
в) \(x=\pi+2\pi k\);
г) \(x=\dfrac{2\pi k}{3}\) или \(x=\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{2\pi k}{3}\).

147.
а) \(x=(-1)^k\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi k}{2}\);
б) \(x=2\pi+4\pi k\);
в) \(x=(-1)^{k+1}\dfrac{\pi}{24}+\dfrac{\pi k}{4}\);
г) \(x=\dfrac{3\pi}{5}+(-1)^k\dfrac{3\pi}{4}+3\pi k\).

Как это получается

Основные формулы:

\[ \cos t=a \Rightarrow t=\pm\arccos a+2\pi k, \]

\[ \sin t=a \Rightarrow t=(-1)^k\arcsin a+\pi k, \]

\[ \mathrm{tg}\,t=a \Rightarrow t=\mathrm{arctg}\,a+\pi k. \]

Сначала решаем уравнение для всего угла \(t\), а потом выражаем \(x\). Если угол был, например, \(3x\), то после деления на \(3\) период тоже делится: к \(x\) прибавляется уже \(\frac{2\pi k}{3}\).

Например, в 145а:

\[ \cos\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt2}{2}, \]

поэтому

\[ \frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi k. \]

Отсюда получаются две серии корней из ответа.

В 147 используем формулы сложения и двойного угла:

\[ \sin3x\cos x-\cos3x\sin x=\sin(3x-x)=\sin2x, \]

\[ \sin^2\frac{x}{4}-\cos^2\frac{x}{4}=-\cos\frac{x}{2}, \]

\[ \sin2x\cos2x=\frac12\sin4x, \]

\[ \sin\frac{x}{3}\cos\frac{\pi}{5}-\cos\frac{x}{3}\sin\frac{\pi}{5} =\sin\left(\frac{x}{3}-\frac{\pi}{5}\right). \]

После этих преобразований каждое уравнение 147 сводится к простейшему тригонометрическому.

Проверка на примере: в 145а при \(k=0\) берём \(x=\frac{5\pi}{6}\). Тогда \(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{4}\), и \(2\cos\frac{\pi}{4}=\sqrt2\) — верно.