На единичной окружности отметьте точки \(P_t\), для которых соответствующие значения \(t\) удовлетворяют данному неравенству. Найдите множество значений \(t\), удовлетворяющих…

Жооп (бирдик айлана боюнча):

• а) \(\sin t>\frac12\): \(t\in\left(\frac{\pi}{6};\frac{5\pi}{6}\right)\);
• б) \(\sin t\le -\frac{\sqrt3}{2}\): \(t\in\left[-\frac{2\pi}{3};-\frac{\pi}{3}\right]\);
• в) \(\sin t>\frac{\sqrt2}{2}\): \(t\in\left(\frac{\pi}{4};\frac{3\pi}{4}\right)\);
• г) \(\sin t<-\frac12\): \(t\in\left(-\frac{5\pi}{6};-\frac{\pi}{6}\right)\).

Айлана менен кантип чыгарабыз

1. Бирдик айлананын борборунан эки ок жүргүзөбүз: горизонталдуу — косинус огу, вертикалдуу — синус огу.
2. Айланадагы \(P_t\) чекитинин координаталары \((\cos t;\sin t)\), башкача айтканда синус — чекиттин вертикалдуу ординатасы.
3. Ошондуктан \(\sin t>a\) дегенибиз — чекит \(y=a\) туз сызыгынын үстүндө жаткан жаа; \(\sin t<a\) дегенибиз — астындагы жаа.
4. Чек арадагы бурчтарды таблицадан табабыз: \[ \sin\frac{\pi}{6}=\frac12,\qquad \sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2},\qquad \sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}. \]

Ар бир пункт боюнча:

а) \(y=\frac12\) туз сызыгын жүргүзөбүз. Ал айлананы \(\frac{\pi}{6}\) жана \(\frac{5\pi}{6}\) бурчтарында кесип өтөт. Үстүндөгү жаа — жогорку жарым айлананын ортосу, ошондуктан \(t\in\left(\frac{\pi}{6};\frac{5\pi}{6}\right)\). Неравенство катуу, чектер ачык.

б) \(y=-\frac{\sqrt3}{2}\) туз сызыгы. Кесилишүү чекиттери: \(-\frac{\pi}{3}\) жана \(-\frac{2\pi}{3}\). Төмөнкү жаа булардын ортосунда жатат: \(t\in\left[-\frac{2\pi}{3};-\frac{\pi}{3}\right]\). Неравенство \(\le\), ошондуктан чектер кошулат.

в) \(y=\frac{\sqrt2}{2}\) туз сызыгы. Кесилишүү: \(\frac{\pi}{4}\) жана \(\frac{3\pi}{4}\). Жогорку кичине жаа: \(t\in\left(\frac{\pi}{4};\frac{3\pi}{4}\right)\).

г) \(y=-\frac12\) туз сызыгы. Кесилишүү: \(-\frac{\pi}{6}\) жана \(-\frac{5\pi}{6}\). Төмөнкү жаа: \(t\in\left(-\frac{5\pi}{6};-\frac{\pi}{6}\right)\).

Текшерүү: б) пунктунда \(t=-\frac{\pi}{2}\) алсак, \(\sin t=-1\), ал эми \(-1\le-\frac{\sqrt3}{2}\) — туура, демек жаа туура тандалган.

Жалпы эреже: чектик бурчтарды тап → айланада \(y=a\) сызыгын жүргүз → керектүү жааны танда → катуу болсо чектерди ач, катуу эмес болсо кош.

Рисунок я прислать не могу, но по клетчатому листу всё строится точно: ниже — что проводить и что штриховать в каждом пункте, с координатами точек (радиус окружности \(R=1\), \(1\) клетка = \(0{,}25\) удобно).

Общий шаблон (как у тебя на фото)

1. Окружность с осями \(Ox\), \(Oy\), на \(Oy\) откладываем \(y=a\).
2. Проводим горизонтальную прямую \(y=a\), отмечаем две точки пересечения \(P_{t_1}\) (справа) и \(P_{t_2}\) (слева).
3. \(\sin t>a\) — штрихуем дугу выше прямой, \(\sin t<a\) — дугу ниже.
4. Строгое неравенство — точки выколоты (скобка круглая), нестрогое — закрашены (скобка квадратная).

а) \(\sin t>\frac12\)

• Прямая \(y=\frac12\) (2 клетки вверх).
• \(P_{t_1}=\left(\frac{\sqrt3}{2};\frac12\right)\approx(0{,}87;\,0{,}5)\), угол \(t_1=\frac{\pi}{6}=30^\circ\); \(P_{t_2}=\left(-\frac{\sqrt3}{2};\frac12\right)\), угол \(t_2=\frac{5\pi}{6}=150^\circ\).
• Штрихуем верхнюю дугу от \(P_{t_1}\) до \(P_{t_2}\) против часовой стрелки, точки выколоты.
• Ответ: \(t\in\left(\frac{\pi}{6};\frac{5\pi}{6}\right)\).

б) \(\sin t\le -\frac{\sqrt3}{2}\)

• Прямая \(y=-\frac{\sqrt3}{2}\approx-0{,}87\) (около нижней границы окружности).
• \(P_{t_1}=\left(\frac12;-\frac{\sqrt3}{2}\right)\), \(t_1=-\frac{\pi}{3}=-60^\circ\); \(P_{t_2}=\left(-\frac12;-\frac{\sqrt3}{2}\right)\), \(t_2=-\frac{2\pi}{3}=-120^\circ\).
• Штрихуем нижнюю маленькую дугу между ними, точки закрашены.
• Ответ: \(t\in\left[-\frac{2\pi}{3};-\frac{\pi}{3}\right]\) (то же: \(\left[\frac{4\pi}{3};\frac{5\pi}{3}\right]\)).

в) \(\sin t>\frac{\sqrt2}{2}\)

• Прямая \(y=\frac{\sqrt2}{2}\approx0{,}71\).
• \(P_{t_1}=\left(\frac{\sqrt2}{2};\frac{\sqrt2}{2}\right)\), \(t_1=\frac{\pi}{4}=45^\circ\); \(P_{t_2}=\left(-\frac{\sqrt2}{2};\frac{\sqrt2}{2}\right)\), \(t_2=\frac{3\pi}{4}=135^\circ\).
• Штрихуем верхнюю дугу между ними, точки выколоты.
• Ответ: \(t\in\left(\frac{\pi}{4};\frac{3\pi}{4}\right)\).

г) прямая \(y=-\frac12\) (как раз твой рисунок)

• \(P_{t_1}=\left(\frac{\sqrt3}{2};-\frac12\right)\approx(0{,}87;\,-0{,}5)\), \(t_1=-\frac{\pi}{6}=-30^\circ\); \(P_{t_2}=\left(-\frac{\sqrt3}{2};-\frac12\right)\), \(t_2=-\frac{5\pi}{6}=-150^\circ\).
• Если в задании \(\sin t<-\frac12\) — штрихуем нижнюю дугу между \(P_{t_2}\) и \(P_{t_1}\): \[ t\in\left(-\frac{5\pi}{6};-\frac{\pi}{6}\right). \]
• Если же там \(\sin t>-\frac12\) — штрихуем всё, что выше прямой (большая дуга через верх): \[ t\in\left(-\frac{\pi}{6};\frac{7\pi}{6}\right). \]

Проверка: подставь «среднюю» точку дуги. В г) для «<» это \(t=-\frac{\pi}{2}\): \(\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1<-\frac12\) — верно. Для «>» возьми \(t=\frac{\pi}{2}\): \(\sin\frac{\pi}{2}=1>-\frac12\) — тоже верно.

Проверь по учебнику, какой именно знак стоит в пункте г) — \(\sin t<-\frac12\) или \(\sin t>-\frac12\), и выбери соответствующую дугу.

Готово. На фото у тебя уже проведена граница \(y=-\frac12\) — это пункт г. Ответом является дуга окружности, а не треугольник: для \(\sin t<-\frac12\) закрашивается нижняя дуга между точками \(-\frac{5\pi}{6}\) и \(-\frac{\pi}{6}\).

Схемы:

Верхняя дуга (а, в)                 Нижняя дуга (б, г)
        ███                              .-----.
      █     █                           /       \
─────○───────○─────               ─────/─────────\─────→ x
    /         \                        \         /
───/───────────\───→ x            ──────○───────○─────
   \           /                         █     █
     '-------'                             ███

Горизонтальная линия через точки \(○\) — это прямая \(y=a\).
\(○\) — конец не входит, \(●\) — входит.

Во всех ответах \(k\in\mathbb Z\).

Для твоего рисунка: \(P_{t_1}\) справа — это \(-\frac{\pi}{6}\) (или \(\frac{11\pi}{6}\)), \(P_{t_2}\) слева — это \(-\frac{5\pi}{6}\) (или \(\frac{7\pi}{6}\)). Закрась нижнюю дугу между ними.

Если нужен ответ только на одном обороте \([0;2\pi)\), то для пункта б будет \(\left[\frac{4\pi}{3};\frac{5\pi}{3}\right]\), для пункта г — \(\left(\frac{7\pi}{6};\frac{11\pi}{6}\right)\).