реши №148,149,150 чётке

Question

Расшифровка фото нейросетью:
148. $y=2\cos(2x-\frac{\pi}{3})$ және $y=\sin(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4})$ функцияларының [неразборчиво] а) $x=4,5\pi$; ә) $y=-1$; б) $y=1$; в) $y=0$ түзу сызықтарымен қиылысу нүктелерінің координаталарын табыңдар.

149. $\cos(\frac{\pi}{3}-2x)=\frac{1}{2}$, $\sin(2x+\frac{\pi}{4})=-1$ теңдеулерін шығарыңдар: а) ең кіші оң тамырын табыңдар; ә) $[-\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}]$ аралығындағы тамырларын табыңдар; б) ең үлкен теріс тамырын табыңдар; в) $(-\pi;\frac{\pi}{2})$ аралығындағы тамырларын табыңдар.

150. $\operatorname{ctg} t=a$ теңдеуінің барлық түбірлерін табу үшін $t=\operatorname{arcctg} a+\pi n, n\in\mathbb{Z}$ формуласы бойынша [неразборчиво].

Answer

№148.
Обозначим
$$
f(x)=2\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right),\qquad
g(x)=\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right).
$$

$x=4{,}5\pi=\frac{9\pi}{2}$:
$$
f\left(\frac{9\pi}{2}\right)=-1,\qquad
g\left(\frac{9\pi}{2}\right)=1.
$$
Точки: $\left(\frac{9\pi}{2};-1\right)$, $\left(\frac{9\pi}{2};1\right)$.

$y=-1$:
$$
f(x)=-1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi k
\ \text{или}\ x=-\frac{\pi}{6}+\pi k;
$$
$$
g(x)=-1 \Rightarrow x=-\frac{3\pi}{2}+4\pi k.
$$
Точки:
$$
\left(\frac{\pi}{2}+\pi k;-1\right),\quad
\left(-\frac{\pi}{6}+\pi k;-1\right),\quad
\left(-\frac{3\pi}{2}+4\pi k;-1\right).
$$

$y=1$:
$$
f(x)=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{3}+\pi k
\ \text{или}\ x=\pi k;
$$
$$
g(x)=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+4\pi k.
$$
Точки:
$$
\left(\frac{\pi}{3}+\pi k;1\right),\quad
\left(\pi k;1\right),\quad
\left(\frac{\pi}{2}+4\pi k;1\right).
$$

$y=0$:
$$
f(x)=0 \Rightarrow x=\frac{5\pi}{12}+\frac{\pi k}{2};
$$
$$
g(x)=0 \Rightarrow x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k.
$$
Точки:
$$
\left(\frac{5\pi}{12}+\frac{\pi k}{2};0\right),\qquad
\left(-\frac{\pi}{2}+2\pi k;0\right).
$$

Везде $k\in\mathbb Z$.

Для построения: $f(x)$ — косинусоида с амплитудой $2$, периодом $\pi$, сдвигом вправо на $\frac{\pi}{6}$.
$g(x)$ — синусоида с амплитудой $1$, периодом $4\pi$, растянутая в $2$ раза и сдвинутая влево на $\frac{\pi}{2}$.

№149.

1. $\cos\left(\frac{\pi}{3}-2x\right)=\frac12$:
$$
x=\pi k\quad \text{или}\quad x=\frac{\pi}{3}+\pi k.
$$

2. $\sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)=-1$:
$$
x=-\frac{3\pi}{8}+\pi n.
$$

Требование |
1-е уравнение |
2-е уравнение |

Наименьший положительный корень |
$\frac{\pi}{3}$ |
$\frac{5\pi}{8}$ |

Наибольший отрицательный корень |
$-\frac{2\pi}{3}$ |
$-\frac{3\pi}{8}$ |

Корни на $\left[-\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right]$ |
$0,\ \frac{\pi}{3},\ \pi,\ \frac{4\pi}{3}$ |
$-\frac{3\pi}{8},\ \frac{5\pi}{8}$ |

Корни на $\left(-\pi;\frac{\pi}{2}\right)$ |
$-\frac{2\pi}{3},\ 0,\ \frac{\pi}{3}$ |
$-\frac{3\pi}{8}$ |

Проверка: $x=\frac{\pi}{3}$ даёт $\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12$, а $x=\frac{5\pi}{8}$ даёт $\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)=-1$.

№150.
Для уравнения
$$
\operatorname{ctg}t=a
$$
на промежутке $(0;\pi)$ котангенс строго убывает, поэтому там есть ровно один корень
$$
\alpha=\operatorname{arcctg}a.
$$
Котангенс имеет период $\pi$, значит все решения получаются прибавлением $\pi n$:
$$
\boxed{t=\operatorname{arcctg}a+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.}
$$
Это и есть общая формула всех корней уравнения $\operatorname{ctg}t=a$.

Требование	1-е уравнение	2-е уравнение
Наименьший положительный корень	\(\frac{\pi}{3}\)	\(\frac{5\pi}{8}\)
Наибольший отрицательный корень	\(-\frac{2\pi}{3}\)	\(-\frac{3\pi}{8}\)
Корни на \(\left[-\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right]\)	\(0,\ \frac{\pi}{3},\ \pi,\ \frac{4\pi}{3}\)	\(-\frac{3\pi}{8},\ \frac{5\pi}{8}\)
Корни на \(\left(-\pi;\frac{\pi}{2}\right)\)	\(-\frac{2\pi}{3},\ 0,\ \frac{\pi}{3}\)	\(-\frac{3\pi}{8}\)