Реши 114

Понял: алгебра, 9 класс, задание № 114. Осталось немного — у разных учебников под этим номером совершенно разные задачи (у Макарычева, Мордковича, Алимова, Никольского нумерация не совпадает).

Назови автора учебника (или пришли фото страницы с заданием) — и я сразу решу № 114 с пошаговым разбором.

Ответы к № 114:

а) \(x\in(-8;\,6)\)
б) \(x\in\left(-\infty;\,\frac32\right)\cup(2;\,+\infty)\)
в) \(x\in(-\infty;\,-3)\cup(5;\,+\infty)\)
г) \(x\in\left(1;\,\frac65\right)\)
д) \(x\in\left(-\infty;\,\frac32\right)\cup\left(\frac32;\,+\infty\right)\)
е) решений нет
ж) \(x\in(0;\,0{,}9)\)
з) \(x\in(-\infty;\,0)\cup(3{,}5;\,+\infty)\)

Как решаем. Приводим неравенство к виду с положительным коэффициентом при \(x^2\), находим корни и расставляем знаки: у параболы ветви вверх, поэтому между корнями знак «\(-\)», а вне корней — «\(+\)».

а)
\[ x^2+2x-48=(x-6)(x+8)<0 \] Корни: \(-8\) и \(6\). Между корнями выражение отрицательно: \[ x\in(-8;\,6) \]

б)
\[ 2x^2-7x+6=0,\quad D=1 \] Корни: \(\frac32\) и \(2\). Нужно \(>0\), значит берём внешние промежутки: \[ x\in\left(-\infty;\,\frac32\right)\cup(2;\,+\infty) \]

в)
\[ -x^2+2x+15<0 \] Умножим на \(-1\), знак неравенства меняется: \[ x^2-2x-15>0 \] Корни: \(-3\) и \(5\). Берём внешние промежутки: \[ x\in(-\infty;\,-3)\cup(5;\,+\infty) \]

г)
\[ -5x^2+11x-6>0 \] После умножения на \(-1\): \[ 5x^2-11x+6<0 \] Корни: \(1\) и \(\frac65\). Нужно \(<0\), значит между корнями: \[ x\in\left(1;\,\frac65\right) \]

д)
\[ 4x^2-12x+9=(2x-3)^2>0 \] Квадрат положителен при всех \(x\), кроме \(x=\frac32\), где он равен нулю: \[ x\in\left(-\infty;\,\frac32\right)\cup\left(\frac32;\,+\infty\right) \]

е)
\[ 25x^2+30x+9=(5x+3)^2<0 \] Квадрат не может быть отрицательным, поэтому решений нет.

ж)
\[ -10x^2+9x>0 \] Умножим на \(-1\): \[ 10x^2-9x<0 \] \[ x(10x-9)<0 \] Корни: \(0\) и \(0{,}9\). Между ними выражение отрицательно: \[ x\in(0;\,0{,}9) \]

з)
\[ -2x^2+7x<0 \] Умножим на \(-1\): \[ 2x^2-7x>0 \] \[ x(2x-7)>0 \] Корни: \(0\) и \(3{,}5\). Берём внешние промежутки: \[ x\in(-\infty;\,0)\cup(3{,}5;\,+\infty) \]

Во всех случаях точки выколоты, потому что неравенства строгие.