Самостоятельная работа по теме «Координаты вектора» Вариант 2 1. Выписать координаты векторов: p = 4i - 2j, q = 5j, r = -i - 1,5j
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Самостоятельная работа по теме «Координаты вектора» Вариант 2
Выписать координаты векторов: \(p = 4i - 2j\) \(q = 5j\) \(r = -i - 1{,}5j\)
Найти координаты векторов \(a+b\); \(a-b\); \(8a\), \(-3{,}5a\), если \(a\{-2;5\}\); \(b\{3;-1\}\).
Точки A и B разделяют окружность на две дуги, меньшая из которых равна 120 градусов, а большая точкой M делится в отношении 2:3, считая от точки A. Найдите угол BAM.
На фото — лист «Вариант 2» с тремя заданиями.
Краткий ответ
\(p\{4;-2\}\), \(q\{0;5\}\), \(r\{-1;-1{,}5\}\).
При \(a\{-2;5\}\), \(b\{3;-1\}\): \[ a+b=\{1;4\},\quad a-b=\{-5;6\},\quad 8a=\{-16;40\},\quad -3{,}5a=\{7;-17{,}5\}. \]
\(\angle BAM=72^\circ\).
Как это получается
Координаты вектора. Если вектор записан как \(x\vec i+y\vec j\), то числа \(x\) и \(y\) — его координаты. Если перед \(\vec i\) или \(\vec j\) коэффициента нет, он равен нулю; знак минус входит в координату. Поэтому: \[ p=4\vec i-2\vec j\Rightarrow p\{4;-2\},\quad q=0\vec i+5\vec j\Rightarrow q\{0;5\},\quad r=-1\vec i-1{,}5\vec j\Rightarrow r\{-1;-1{,}5\}. \]
Действия с векторами. При сложении и вычитании складываются или вычитаются соответствующие координаты, а при умножении на число каждая координата умножается на это число: \[ a+b=\{-2+3;\,5+(-1)\}=\{1;4\}, \] \[ a-b=\{-2-3;\,5-(-1)\}=\{-5;6\}, \] \[ 8a=\{8\cdot(-2);\,8\cdot5\}=\{-16;40\}, \] \[ -3{,}5a=\{-3{,}5\cdot(-2);\,-3{,}5\cdot5\}=\{7;-17{,}5\}. \]
Дуги и вписанный угол. Меньшая дуга \(AB\) равна \(120^\circ\), значит большая дуга: \[ 360^\circ-120^\circ=240^\circ. \] Точка \(M\) делит большую дугу в отношении \(2:3\), считая от \(A\). Поэтому дуга \(AM\) составляет \(96^\circ\), а дуга \(MB\) — \(144^\circ\): \[ \frac{2}{5}\cdot240^\circ=96^\circ,\qquad \frac{3}{5}\cdot240^\circ=144^\circ. \] Угол \(BAM\) — вписанный и опирается на дугу \(MB\), не содержащую точку \(A\). Значит, \[ \angle BAM=\frac{144^\circ}{2}=72^\circ. \]
Проверка
В треугольнике \(ABM\) угол \(AMB\) опирается на меньшую дугу \(AB\), поэтому \(\angle AMB=60^\circ\). Угол \(ABM\) опирается на дугу \(AM\), поэтому \(\angle ABM=48^\circ\). Тогда \[ \angle BAM=180^\circ-60^\circ-48^\circ=72^\circ. \] Результат совпадает.
Обсуждение
2 сообщенияОтветы:
- \(\vec p(4;-2)\), \(\vec q(0;5)\), \(\vec r(-1{,}5;0)\).
- \(\vec a+\vec b=(1;4)\), \(\vec a-\vec b=(-5;6)\), \(8\vec a=(-16;40)\), \(-3{,}5\vec a=(7;-17{,}5)\).
- \(\angle BAM=72^\circ\).
Краткие шаги:
Координаты вектора — это коэффициенты при \(\vec i\) и \(\vec j\): \[ \vec p=4\vec i-2\vec j \Rightarrow (4;-2), \] \[ \vec q=5\vec j \Rightarrow (0;5), \] \[ \vec r=-1{,}5\vec i \Rightarrow (-1{,}5;0). \]
Действия с векторами выполняются покоординатно: \[ \vec a+\vec b=(-2+3;\;5+(-1))=(1;4), \] \[ \vec a-\vec b=(-2-3;\;5-(-1))=(-5;6), \] \[ 8\vec a=(8\cdot(-2);\;8\cdot5)=(-16;40), \] \[ -3{,}5\vec a=(-3{,}5\cdot(-2);\;-3{,}5\cdot5)=(7;-17{,}5). \]
Меньшая дуга \(AB\) равна \(120^\circ\), значит большая: \[ 360^\circ-120^\circ=240^\circ. \] Точка \(M\) делит большую дугу в отношении \(2:3\), считая от \(A\). Всего \(2+3=5\) частей: \[ \frac{240^\circ}{5}=48^\circ. \] Тогда \[ \smile AM=2\cdot48^\circ=96^\circ,\qquad \smile MB=3\cdot48^\circ=144^\circ. \] Угол \(BAM\) — вписанный и опирается на дугу \(MB\), не содержащую точку \(A\). Поэтому \[ \angle BAM=\frac{144^\circ}{2}=72^\circ. \]
Ответ: \(72^\circ\).
