решить залание 2.111 с объяснением
Сверь числа и знаки с фото.
2.111 Найдите наибольший общий делитель чисел: а) 13 и 26; в) 60 и 75; д) 3375 и 5625. б) 8 и 12; г) 64 и 128;
Краткий ответ:
а) \(\text{НОД}(13,26)=13\)
б) \(\text{НОД}(8,12)=4\)
в) \(\text{НОД}(60,75)=15\)
г) \(\text{НОД}(64,128)=64\)
д) \(\text{НОД}(3375,5625)=1125\)
Как рассуждать
НОД — это наибольшее число, на которое оба данных числа делятся без остатка.
- Раскладываем числа на простые множители.
- Берём общие простые множители.
- Каждый общий множитель записываем в наименьшей степени.
- Перемножаем их.
Теперь по пунктам:
а) \(26=13\cdot2\), поэтому
\[
\text{НОД}(13,26)=13.
\]
Здесь одно число делится на другое, значит НОД равен меньшему числу.
б)
\[
8=2^3,\qquad 12=2^2\cdot3.
\]
Общий множитель — \(2^2\), поэтому
\[
\text{НОД}(8,12)=4.
\]
в)
\[
60=2^2\cdot3\cdot5,\qquad 75=3\cdot5^2.
\]
Общие множители — \(3\) и \(5\), значит
\[
\text{НОД}(60,75)=3\cdot5=15.
\]
г)
\[
64=2^6,\qquad 128=2^7.
\]
Берём меньшую степень:
\[
\text{НОД}(64,128)=2^6=64.
\]
д)
\[
3375=3^3\cdot5^3,\qquad 5625=3^2\cdot5^4.
\]
Общие множители в меньших степенях:
\[
\text{НОД}(3375,5625)=3^2\cdot5^3=9\cdot125=1125.
\]
Для проверки можно применить алгоритм Евклида: \[ 5625-3375=2250,\quad 3375-2250=1125, \] а \(2250=2\cdot1125\), значит НОД действительно равен \(1125\).
Обсуждение
2 сообщенияОбъясните 6 классу чтобы я расказала как объяснила учитель тоесть как я гашла
Можно рассказать у доски так — простыми словами, как для 6 класса.
Начни с определения:
НОД — это наибольшее число, на которое оба числа делятся без остатка.
Например, у чисел 8 и 12 общие делители: 1, 2, 4. Наибольший из них — 4. Значит, \[ \text{НОД}(8,12)=4. \]
Дальше скажи, как ты находишь НОД:
- Сначала смотрю: не делится ли одно число на другое.
Если делится, то НОД равен меньшему числу. - Если не делится, раскладываю оба числа на простые множители.
- Выбираю общие множители.
- Каждый общий множитель беру в наименьшем количестве.
- Перемножаю их.
Теперь по примерам.
а) 13 и 26
\[ 26=2\cdot13,\qquad 13=13. \] Общий множитель — только 13. Поэтому \[ \text{НОД}(13,26)=13. \] Можно объяснить проще: 26 делится на 13, значит НОД равен 13.
б) 8 и 12
\[ 8=2\cdot2\cdot2, \] \[ 12=2\cdot2\cdot3. \] Общих множителей две двойки: \[ 2\cdot2=4. \] Значит, \[ \text{НОД}(8,12)=4. \]
в) 60 и 75
\[ 60=2\cdot2\cdot3\cdot5, \] \[ 75=3\cdot5\cdot5. \] Общие множители — 3 и 5: \[ 3\cdot5=15. \] Значит, \[ \text{НОД}(60,75)=15. \]
г) 64 и 128
\[ 64=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2, \] \[ 128=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2. \] В первом числе шесть двоек, во втором — семь. Берём меньшее количество, то есть шесть двоек: \[ \text{НОД}(64,128)=64. \] Проверка: 128 делится на 64, значит всё верно.
д) 3375 и 5625
Раскладываем:
\[ 3375=3\cdot3\cdot3\cdot5\cdot5\cdot5, \] \[ 5625=3\cdot3\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5. \]
Общие множители: две тройки и три пятёрки. Берём их в меньшем количестве: \[ 3\cdot3\cdot5\cdot5\cdot5=9\cdot125=1125. \] Значит, \[ \text{НОД}(3375,5625)=1125. \]
Проверка:
\[
3375:1125=3,
\]
\[
5625:1125=5.
\]
Оба числа разделились без остатка, значит НОД найден верно.
Коротко для ответа у доски:
«Я ищу наибольшее число, на которое делятся оба числа. Для этого раскладываю числа на простые множители, выбираю общие множители и беру каждый в наименьшем количестве. Потом перемножаю их и получаю НОД».
