КАРТОЧКА 3 1. Сколькими способами можно определить последовательность выступления 8 участников конкурса вокалистов?

На фото полностью видна «Карточка 3»; решаю все шесть её задач. Соседнюю карточку справа не беру — она обрезана.

Краткие ответы

1. \(8! = 40\,320\) способов.
2. \(12\cdot 11 = 132\) способа.
3. \(\binom{19}{3}=969\) способов.
4. \(P=\dfrac{20}{25}=0{,}8\).
5. \(\binom{15}{2}\binom{12}{2}=105\cdot 66=6\,930\) способов.
6. \(P=\dfrac{12}{24}=0{,}5\).

Почему так

1. Нужно упорядочить всех 8 участников: на первое место 8 вариантов, на второе 7, затем 6 и так далее. Это перестановки: \(8!=40\,320\).

2. Председатель и заместитель — разные должности, поэтому порядок важен: сначала выбираем председателя из 12 человек, затем заместителя из 11 оставшихся. Получаем \(12\cdot 11=132\).

3. Здесь выбираем просто троих, без распределения ролей, поэтому порядок не важен. Это сочетания: \[ \binom{19}{3}=\frac{19\cdot18\cdot17}{1\cdot2\cdot3}=969. \]

4. Неподготовленных билетов \(2+3=5\), значит подготовленных \(25-5=20\). Всего билетов 25, поэтому вероятность достать подготовленный билет: \[ \frac{20}{25}=0{,}8. \]

5. Юношей можно выбрать \(\binom{15}{2}=105\) способами, девушек — \(\binom{12}{2}=66\) способами. Выборы независимы, поэтому перемножаем: \[ 105\cdot66=6930. \]

6. Всего четырёхзначных чисел из цифр \(1,2,3,4\) без повторения \(4!=24\), поскольку все цифры ненулевые. Число чётное, если последняя цифра \(2\) или \(4\): 2 варианта. Остальные три цифры расставляются \(3!=6\) способами. Благоприятных чисел \(2\cdot6=12\), значит: \[ P=\frac{12}{24}=\frac12. \]

Ориентир. Если важен порядок, используем размещения \(A_n^k\) или перестановки \(P_n=n!\); если выбираем группу без порядка — сочетания \(C_n^k\).