Контрольная работа № 1 Квадратные корни. Степень. Вариант 2. 1. Вычислите: а) 0,8√6400; б) √0,49 * 900; в) √5² * 8⁴.

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
Контрольная работа № 1
Квадратные корни. Степень.
Вариант 2.

1. Вычислите:
а) $0{,}8\sqrt{6400}$; б) $\sqrt{0{,}49\cdot 900}$;
в) $\sqrt{5^2\cdot 8^4}$.

2. Найдите значение выражения:
а) $1^{-5}\cdot 1^{-3}$; б) $8^{-5}:8^{-6}$; в) $(3^{-1})^{3}$.

3. Вычисли:
а) $\sqrt{20}\cdot\sqrt{80} - \frac{\sqrt{54}}{\sqrt{6}}$, б) $\sqrt{14}\cdot\sqrt{56}$,
г) $6(\sqrt{13})^{2}$

4. Упрости: а) $0{,}7\cdot a^{-8}\cdot b^{-5}\cdot 7a^{9}\cdot b^{4}$.

5. Решите уравнение:
а) $x^{2}=225$; б) $x^{2}-0{,}01=0{,}08$; в) $\sqrt{x}=3$

6. Упростите выражение:
а) $(4\sqrt{2}-7)(4\sqrt{2}+7)$

7. Вычисли:
а) $(27\cdot 3^{-7})^{2}\cdot (9^{-1})^{-2}$

Answer

Краткие ответы

1. а) $64$; б) $21$; в) $320$

2. а) $1$; б) $8$; в) $\frac{1}{27}$

3. а) $37$; б) $28$; г) $78$

4. $\frac{4{,}9a}{b}$

5. а) $x=\pm15$; б) $x=\pm0{,}3$; в) $x=9$

6. $-17$

7. $\frac{1}{81}$

Ключевые шаги и правила

№ 1. Корень из произведения и корень из квадрата
$$
\sqrt{ab}=\sqrt a\cdot\sqrt b,\qquad \sqrt{a^2}=|a|
$$
а) $0{,}8\sqrt{6400}=0{,}8\cdot80=64$, так как $80^2=6400$.
б) $\sqrt{0{,}49\cdot900}=\sqrt{0{,}49}\cdot\sqrt{900}=0{,}7\cdot30=21$.
в) $\sqrt{5^2\cdot8^4}=5\cdot8^2=5\cdot64=320$, ведь $8^4=(8^2)^2$.

№ 2. Свойства степеней
$$
a^m\cdot a^n=a^{m+n},\quad a^m:a^n=a^{m-n},\quad (a^m)^n=a^{mn},\quad a^{-n}=\frac{1}{a^n}
$$
а) $1^{-5}\cdot1^{-3}=1^{-8}=1$ — единица в любой степени равна единице.
б) $8^{-5}:8^{-6}=8^{-5-(-6)}=8^1=8$.
в) $(3^{-1})^3=3^{-3}=\frac{1}{27}$.

№ 3. Снова корень из произведения (и корень из частного)
а) $\sqrt{20}\cdot\sqrt{80}=\sqrt{1600}=40$; $\frac{\sqrt{54}}{\sqrt6}=\sqrt{\frac{54}{6}}=\sqrt9=3$; итого $40-3=37$.
б) $\sqrt{14}\cdot\sqrt{56}=\sqrt{14\cdot56}=\sqrt{784}=28$. Быстрее: $56=14\cdot4$, поэтому $\sqrt{14\cdot14\cdot4}=14\cdot2=28$.
г) $6(\sqrt{13})^2=6\cdot13=78$, так как $(\sqrt a)^2=a$.

№ 4. Приведение подобных множителей
$$
0{,}7a^{-8}b^{-5}\cdot7a^{9}b^{4}=(0{,}7\cdot7)\,a^{-8+9}\,b^{-5+4}=4{,}9\,ab^{-1}=\frac{4{,}9a}{b}
$$
Коэффициенты перемножаем, показатели при одинаковых основаниях складываем.

№ 5. Уравнения
а) $x^2=225\Rightarrow x=\pm15$: при $c>0$ уравнение $x^2=c$ имеет два корня.
б) $x^2-0{,}01=0{,}08\Rightarrow x^2=0{,}09\Rightarrow x=\pm0{,}3$.
в) $\sqrt x=3\Rightarrow x=3^2=9$. Проверка: $\sqrt9=3$ — верно.

№ 6. Разность квадратов
$$
(a-b)(a+b)=a^2-b^2
$$
$$
(4\sqrt2-7)(4\sqrt2+7)=(4\sqrt2)^2-7^2=16\cdot2-49=32-49=-17
$$

№ 7. Приведение к одному основанию
$$
27=3^3,\qquad 9=3^2
$$
$$
27\cdot3^{-7}=3^{3-7}=3^{-4}\ \Rightarrow\ (3^{-4})^2=3^{-8}
$$
$$
(9^{-1})^{-2}=9^{2}=3^{4}
$$
$$
3^{-8}\cdot3^{4}=3^{-4}=\frac{1}{81}
$$
Проверка: $\frac{27}{3^7}=\frac{27}{2187}=\frac{1}{81}$, в квадрате даёт $\frac{1}{6561}$, а умножив на $81$, получаем $\frac{1}{81}$ — сходится.