реши 6 задание

Попробуй решить самостоятельно:

\[ (4\cdot10^{-3})^2\cdot5\cdot10^4 \]

Подсказка: сначала возведи в квадрат первый множитель, затем отдельно перемножь числа и отдельно сложи показатели степеней у десяток.

Напиши получившийся ответ — я проверю.

Не 80 000, а \(0{,}8\). Давай разберём, где спряталась ошибка.

1. Возводим в квадрат: \[ (4\cdot10^{-3})^2=16\cdot10^{-6}. \]

2. Перемножаем числа и отдельно складываем показатели: \[ 16\cdot10^{-6}\cdot5\cdot10^4=16\cdot5\cdot10^{-6+4}=80\cdot10^{-2}. \]

3. Отрицательная степень уменьшает число: \[ 80\cdot10^{-2}=80\cdot0{,}01=0{,}8. \]

Проверка: \(4\cdot10^{-3}=0{,}004\), тогда \(0{,}004^2=0{,}000016\), а \(5\cdot10^4=50\,000\). Значит, \(0{,}000016\cdot50\,000=0{,}8\). Сходится.

Скорее всего, при переходе от \(80\cdot10^{-2}\) показатель степени случайно стал положительным — из-за этого и получилось \(80\,000\). Держи в голове правило: \(10^{-n}\) означает деление на \(10^n\), то есть число становится меньше.

Вот ещё один пример:

\[ (5\cdot10^{-4})^2\cdot8\cdot10^5 \]

Порядок действий тот же:

1. Возведи в квадрат первый множитель — не забудь, что \((10^{-4})^2=10^{-8}\).
2. Перемножь числа отдельно, а показатели степеней десятки сложи отдельно.
3. Если останется отрицательная степень, вспомни: \(10^{-n}\) уменьшает число.

Пришли ответ — проверю.

Верно, \(0{,}2\).

Проверим по шагам:

1. Квадрат первого множителя: \[ (5\cdot10^{-4})^2=25\cdot10^{-8}. \]

2. Перемножаем числа и складываем показатели: \[ 25\cdot10^{-8}\cdot8\cdot10^5=25\cdot8\cdot10^{-8+5}=200\cdot10^{-3}. \]

3. Убираем отрицательную степень: \[ 200\cdot10^{-3}=200\cdot0{,}001=0{,}2. \]

Проверка: \(5\cdot10^{-4}=0{,}0005\), значит \(0{,}0005^2=0{,}00000025\); \(8\cdot10^5=800\,000\); тогда \(0{,}00000025\cdot800\,000=0{,}2\). Сходится.

Видно, что принцип ты понял: отдельно числа, отдельно степени, и отрицательный показатель уменьшает результат. Можешь переходить к заданиям посложнее — например, где степени приходится делить.

Ответ: \(384\).

Как решать:

1. Корень из произведения раскладываем на множители и извлекаем корень из каждого: \[ \sqrt{64a^2b^6}=\sqrt{64}\cdot\sqrt{a^2}\cdot\sqrt{b^6}=8\cdot|a|\cdot|b|^3. \] (Модуль нужен, чтобы не ошибиться со знаком, но у нас \(a\) и \(b\) положительные.)

2. Подставляем \(a=6\), \(b=2\): \[ 8\cdot6\cdot2^3=8\cdot6\cdot8=384. \]

Проверка: \(a^2b^6=36\cdot64=2304\), тогда \(\sqrt{64\cdot2304}=\sqrt{147456}=384\). Сходится.

Ключевой приём: \(\sqrt{x^2}=|x|\), а \(\sqrt{x^6}=|x|^3\) — показатель под корнем делится на 2.

Вот похожий пример:

\[ \sqrt{81a^4b^2}\quad \text{при}\quad a=3,\ b=5 \]

Действуй так же:

1. Извлеки корень из каждого множителя отдельно: \(\sqrt{81}\), \(\sqrt{a^4}\), \(\sqrt{b^2}\).
2. Помни, что показатель степени под корнем делится на 2: \(\sqrt{a^4}=a^2\), \(\sqrt{b^2}=b\).
3. Подставь \(a=3\), \(b=5\) и перемножь.

Пришли ответ — проверю.

Верно, \(405\).

Проверим по шагам:

1. Извлекаем корень из каждого множителя: \[ \sqrt{81a^4b^2}=\sqrt{81}\cdot\sqrt{a^4}\cdot\sqrt{b^2}=9\cdot a^2\cdot b. \]

2. Подставляем \(a=3\), \(b=5\): \[ 9\cdot3^2\cdot5=9\cdot9\cdot5=405. \]

Проверка: \(a^4b^2=81\cdot25=2025\), тогда \(81\cdot2025=164025\), а \(\sqrt{164025}=405\). Сходится.

Правило, которое здесь сработало: \(\sqrt{x^{2n}}=|x|^n\) — показатель под корнем просто делится на 2. С ним можно брать и корни более высокой степени, например \(\sqrt[3]{x^3}=x\).

Ответ: \(x=-3{,}5\) (или \(-\dfrac{7}{2}\)).

Способ 1 — через разность квадратов:

\[ (x-7)^2-(x+14)^2=0 \]

Применяем \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\), где \(a=x-7\), \(b=x+14\):

\[ \big((x-7)-(x+14)\big)\big((x-7)+(x+14)\big)=0 \]

\[ (-21)\cdot(2x+7)=0 \]

Так как \(-21\neq0\), остаётся:

\[ 2x+7=0 \quad\Rightarrow\quad x=-\frac{7}{2}=-3{,}5 \]

Способ 2 — раскрыть скобки:

\[ x^2-14x+49=x^2+28x+196 \]

\[ -14x+49=28x+196 \]

\[ -42x=147 \quad\Rightarrow\quad x=-\frac{147}{42}=-\frac{7}{2} \]

Проверка: при \(x=-3{,}5\) получаем \(x-7=-10{,}5\) и \(x+14=10{,}5\). Их квадраты равны: \(110{,}25=110{,}25\). Сходится.

Важно: здесь нельзя просто «убрать квадраты» и написать \(x-7=x+14\) — это дало бы ложное \(0=21\). Квадраты равны и тогда, когда числа противоположны по знаку, поэтому надёжнее переносить всё в одну часть и раскладывать на множители.

Ответ: \(x=-3{,}5\), то есть \(x=-\dfrac{7}{2}\).

Ниже — полное решение с объяснением каждого перехода и тремя способами.

Шаг 1. Что дано и в чём главная тонкость

Исходное уравнение: \[ (x-7)^2=(x+14)^2 \]

Слева и справа стоят квадраты. Равенство квадратов — это не то же самое, что равенство самих выражений. Например, \(3^2=(-3)^2\), хотя \(3\neq-3\). Поэтому «убрать квадраты» нельзя.

Работает правило: \[ A^2=B^2 \iff A=B \ \text{или}\ A=-B \]

Почему оно верно: перенесём всё влево и разложим разность квадратов: \[ A^2-B^2=(A-B)(A+B)=0 \] Произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю. Отсюда \(A-B=0\) или \(A+B=0\).

Шаг 2. Разбор двух случаев

Случай 1: \(x-7=x+14\).

Вычитаем \(x\) из обеих частей: \[ -7=14 \] Это неверно, значит в этом случае решений нет.

Случай 2: \(x-7=-(x+14)\).

Раскрываем скобки справа: \[ x-7=-x-14 \] Переносим \(x\) влево, а числа вправо (при переносе знак меняется): \[ x+x=-14+7 \] \[ 2x=-7 \] \[ x=-\frac{7}{2}=-3{,}5 \]

Шаг 3. Второй способ — раскрыть скобки

Квадрат разности и квадрат суммы: \[ (x-7)^2=x^2-2\cdot x\cdot 7+7^2=x^2-14x+49 \] \[ (x+14)^2=x^2+2\cdot x\cdot 14+14^2=x^2+28x+196 \]

Приравниваем: \[ x^2-14x+49=x^2+28x+196 \]

Вычитаем \(x^2\) из обеих частей — квадраты уничтожаются, уравнение становится линейным: \[ -14x+49=28x+196 \]

Собираем \(x\) влево, числа вправо: \[ -14x-28x=196-49 \] \[ -42x=147 \]

Делим обе части на \(-42\): \[ x=-\frac{147}{42} \]

Сокращаем на \(21\): \[ x=-\frac{7}{2}=-3{,}5 \]

Важно: \(x^2\) сократился, поэтому уравнение оказалось линейным и дало ровно один корень. Если бы коэффициенты при \(x^2\) не совпали, получилось бы квадратное уравнение с двумя корнями.

Шаг 4. Третий способ — разность квадратов

Переносим всё в одну часть: \[ (x-7)^2-(x+14)^2=0 \]

Применяем \(A^2-B^2=(A-B)(A+B)\), где \(A=x-7\), \(B=x+14\): \[ \big((x-7)-(x+14)\big)\cdot\big((x-7)+(x+14)\big)=0 \]

Считаем каждый множитель отдельно: \[ (x-7)-(x+14)=x-7-x-14=-21 \] \[ (x-7)+(x+14)=2x+7 \]

Получаем: \[ -21\cdot(2x+7)=0 \]

Так как \(-21\neq0\), делим на \(-21\): \[ 2x+7=0 \quad\Rightarrow\quad 2x=-7 \quad\Rightarrow\quad x=-3{,}5 \]

Шаг 5. Проверка подстановкой

При \(x=-3{,}5\): \[ x-7=-3{,}5-7=-10{,}5 \] \[ x+14=-3{,}5+14=10{,}5 \]

Квадраты: \[ (-10{,}5)^2=110{,}25,\qquad 10{,}5^2=110{,}25 \] Равенство выполняется. То же в дробях: \(10{,}5=\frac{21}{2}\), а \(\left(\frac{21}{2}\right)^2=\frac{441}{4}=110{,}25\). Сходится.

Полезное истолкование

Уравнение \((x-7)^2=(x+14)^2\) равносильно \(|x-7|=|x+14|\): расстояние от точки \(x\) до \(7\) равно расстоянию от \(x\) до \(-14\). Точки, равноудалённые от двух данных, — это их середина: \[ x=\frac{7+(-14)}{2}=-\frac{7}{2}=-3{,}5 \] Тот же ответ получается без раскрытия скобок — хороший способ быстро себя проверить.

Итог: единственный корень \(x=-3{,}5\). Ошибка, которую здесь легко допустить, — «сократить квадраты» и получить ложное \(-7=14\); всегда проверяй, не теряется ли случай с противоположным знаком.

Вот похожий пример:

\[ (x-5)^2=(x+9)^2 \]

Реши его и пришли значение \(x\). Совет: не «убирай квадраты» сразу — либо раскрой скобки, либо воспользуйся тем, что \(A^2=B^2\) означает \(A=B\) или \(A=-B\).

Нет, правильный ответ: \(x=-2\).

Проверим твоё \(1{,}75\): тогда \(x-5=-3{,}25\), а \(x+9=10{,}75\) — их квадраты не равны. Значит, где-то потерялся знак.

Решение:

\[ (x-5)^2=(x+9)^2 \iff |x-5|=|x+9| \]

Квадраты равны, когда выражения равны или противоположны:

1. \(x-5=x+9\) — невозможно, так как \(-5\neq9\).
2. \(x-5=-(x+9)\): \[ x-5=-x-9 \] \[ 2x=-4 \] \[ x=-2 \]

Проверка: \(x-5=-7\), \(x+9=7\), а \((-7)^2=7^2=49\). Сходится.

Скорее всего, при переносе получилось \(+4\) вместо \(-4\). Выходит \(x=-2\).