Сравните 1) ⁵√(2⁴) 2^(−3/5) 2) (4/3)¹⁰ (4/3)¹¹ 3) log₂(3/4) log₂(4/5)

Краткий ответ: \[ \sqrt[5]{2^{4}}>2^{-\frac{3}{5}},\qquad \left(\frac{4}{3}\right)^{10}<\left(\frac{4}{3}\right)^{11},\qquad \log_{2}\frac{3}{4}<\log_{2}\frac{4}{5}. \]

Почему так

1. Корень переводим в степень: \[ \sqrt[5]{2^{4}}=2^{\frac{4}{5}}. \] Сравниваем показатели: \(\frac{4}{5}>-\frac{3}{5}\) — положительное число больше отрицательного. Основание \(2>1\), поэтому функция \(2^{x}\) возрастает: \[ 2^{\frac{4}{5}}>2^{-\frac{3}{5}}. \] Это видно и сразу: \(2^{\frac{4}{5}}>1\), а \(2^{-\frac{3}{5}}<1\).

2. Основание \(\frac{4}{3}>1\), значит функция \(\left(\frac{4}{3}\right)^{x}\) возрастает. Показатель \(10\) меньше \(11\), поэтому \[ \left(\frac{4}{3}\right)^{10}<\left(\frac{4}{3}\right)^{11}. \]

3. Сравниваем аргументы логарифмов: \[ \frac{3}{4}=\frac{15}{20},\qquad \frac{4}{5}=\frac{16}{20}, \] поэтому \(\frac{3}{4}<\frac{4}{5}\). Основание логарифма \(2>1\), функция \(\log_{2}x\) возрастает: \[ \log_{2}\frac{3}{4}<\log_{2}\frac{4}{5}. \] Оба логарифма отрицательны, ведь аргументы меньше \(1\), но правило сохраняется: большему аргументу соответствует больший логарифм.

Проверка: \(2^{0{,}8}\approx1{,}74\), \(2^{-0{,}6}\approx0{,}66\); \(\left(\frac{4}{3}\right)^{10}\approx17{,}8\), \(\left(\frac{4}{3}\right)^{11}\approx23{,}7\); \(\log_{2}0{,}75\approx-0{,}42\), \(\log_{2}0{,}8\approx-0{,}32\). Все три неравенства выполняются.

Что запомнить: при основании \(a>1\) знак неравенства сохраняется при переходе к показателям или аргументам; при \(0<a<1\) — меняется. Корень \(\sqrt[n]{a^{m}}=a^{\frac{m}{n}}\).