Решить кратко
Сверь числа и знаки с фото.
ВАРИАНТ 1
Часть 1
Чему равен \(\sin 150^\circ\)? а) \(\frac{1}{2}\) б) \(-\frac{1}{2}\) в) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) г) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
Используя формулы приведения, упростите выражение: \(\cos(180^\circ - a) + \cos a\) а) \(2\cos a\) б) \(0\) в) \(-2\cos a\) г) \(1\)
В треугольнике ABC известны стороны a, b, c и угол C. Какая формула выражает теорему косинусов? а) \(c^2 = a^2 + b^2 + 2ab \cdot \cos C\) б) \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C\) в) \(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\) г) \(c^2 = a^2 - b^2 - 2ab \cdot \cos C\)
Запишите теорему синусов для треугольника ABC. Ответ: ______
Найдите \(\cos a\), если \(\sin a = 0{,}8\) и \(90^\circ < a < 180^\circ\) (угол тупой). а) \(0{,}6\) б) \(-0{,}6\) в) \(0{,}2\) г) \(-0{,}2\)
Часть 2
В треугольнике ABC сторона \(AC = 5\), сторона \(BC = 4\sqrt{2}\), а угол \(C = 45^\circ\). Найдите сторону \(AB\).
В треугольнике ABC угол \(A = 30^\circ\), угол \(C = 45^\circ\), сторона \(AB = 8\). Найдите сторону \(BC\).
В треугольнике две стороны равны 6 см и 10 см, а угол между ними равен \(120^\circ\). Найдите третью сторону треугольника.
Часть 3
(Практическая задача). Два велосипедиста выехали одновременно из одного пункта по двум прямым дорогам, угол между которыми равен \(60^\circ\). Скорость первого велосипедиста 12 км/ч, а второго — 10 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 2 часа?
(Развернутая задача). В треугольнике ABC сторона \(AB = 4\) см, сторона \(BC = 6\) см, а угол \(A = 60^\circ\). Найдите \(\sin\) угла \(C\). Определите вид угла \(C\) (острый, прямой или тупой). (Используйте теорему синусов)
Кратко
1 — а; 2 — б; 3 — б;
4 — \(\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R\), где \(a=BC\), \(b=AC\), \(c=AB\);
5 — б; 6 — \(\sqrt{17}\); 7 — \(4\sqrt2\); 8 — 14 см;
9 — \(4\sqrt{31}\) км \(\approx 22{,}3\) км;
10 — \(\sin C=\frac{\sqrt3}{3}\), угол \(C\) острый.
Почему так
1. \(\sin150^\circ=\sin(180^\circ-30^\circ)=\sin30^\circ=\frac12\).
2. По формуле приведения \(\cos(180^\circ-a)=-\cos a\), поэтому сумма равна \(0\).
3. Теорема косинусов для стороны \(c\), лежащей против угла \(C\): \[ c^2=a^2+b^2-2ab\cos C. \]
4. Теорема синусов: \[ \frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}. \] В общем виде: \[ \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R. \]
5. Угол \(a\) лежит во второй четверти, поэтому косинус отрицателен: \[ \cos^2 a=1-0{,}8^2=0{,}36,\qquad \cos a=-0{,}6. \]
6. По теореме косинусов: \[ AB^2=5^2+(4\sqrt2)^2-2\cdot5\cdot4\sqrt2\cos45^\circ =25+32-40=17, \] значит, \(AB=\sqrt{17}\).
7. По теореме синусов: \[ \frac{BC}{\sin30^\circ}=\frac{8}{\sin45^\circ}, \] \[ BC=\frac{8\cdot\frac12}{\frac{\sqrt2}{2}}=4\sqrt2. \]
8. \[ c^2=6^2+10^2-2\cdot6\cdot10\cos120^\circ =136+60=196, \] поэтому \(c=14\) см.
9. За 2 часа велосипедисты проедут \(24\) км и \(20\) км. По теореме косинусов: \[ d^2=24^2+20^2-2\cdot24\cdot20\cos60^\circ=496, \] \[ d=4\sqrt{31}\approx22{,}3\text{ км}. \]
10. По теореме синусов: \[ \frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C}, \] \[ \sin C=\frac{AB\sin A}{BC} =\frac{4\cdot\frac{\sqrt3}{2}}{6} =\frac{\sqrt3}{3}. \] Так как \(AB<BC\), то угол \(C\) меньше угла \(A=60^\circ\), значит, угол \(C\) острый. Проверка: \(C\approx35{,}3^\circ\).
Обсуждение
2 сообщенияОтветы краткие
- \(\frac12\)
- \(0\)
- \(c^2=a^2+b^2-2ab\cos C\)
- \(\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}=2R\)
- \(-0{,}6\)
- \(\sqrt{17}\)
- \(4\sqrt2\)
- \(14\) см
- \(4\sqrt{31}\) км \(\approx 22{,}3\) км
- \(\sin C=\frac{\sqrt3}{3}\); \(C\approx35{,}3^\circ\)
