Объясни эти темы и сделай шпору для контрольной

Коротко: на фото — алгебра 10 класса вокруг трёх навыков: дробно-рациональные уравнения, рациональные неравенства и разложение многочленов на множители / формулы сокращённого умножения. Главное везде одно: сначала разложить на множители и учесть ОДЗ, потом решать.

1. Дробно-рациональные уравнения

Правило: знаменатель не может быть равен нулю. Поэтому сначала выписываем ограничения, а уже потом убираем дроби.

Алгоритм:

1. Разложить знаменатели на множители.
2. Выписать ОДЗ.
3. Привести к общему знаменателю или перемножить крест-накрест.
4. Приравнять числитель к нулю.
5. Проверить корни по ОДЗ: корень, который обнуляет знаменатель, не входит в ответ.

Пример с верхней строки:

\[ \frac{2x^2-3x-2}{x-2}=x^2,\qquad x\ne2. \]

Числитель раскладывается:

\[ 2x^2-3x-2=(2x+1)(x-2). \]

После сокращения на \(x-2\):

\[ 2x+1=x^2. \]

То есть:

\[ x^2-2x-1=0, \]

\[ x=1\pm\sqrt2. \]

Оба корня не равны \(2\), поэтому оба подходят.

2. Рациональные неравенства

Здесь нельзя просто умножать на знаменатель: он может быть отрицательным. Нужно перенести всё в одну часть, получить справа \(0\) и решать методом интервалов.

Алгоритм:

1. Всё перенести в левую часть.
2. Разложить числитель и знаменатель на множители.
3. Нанести нули числителя и знаменателя на числовую прямую.
4. Нули числителя: закрашенные точки, если неравенство нестрогое.
5. Нули знаменателя: всегда выколотые точки.
6. Определить знаки на промежутках и выбрать нужные.

Пример:

\[ x^3-3x^2-x+3\le0. \]

Группируем:

\[ x^2(x-3)-(x-3)\le0, \]

\[ (x-3)(x^2-1)\le0, \]

\[ (x-3)(x-1)(x+1)\le0. \]

Корни: \(-1,\ 1,\ 3\). Знаки на промежутках: \(-,+,-,+\). Поэтому:

\[ x\in(-\infty;-1]\cup[1;3]. \]

В номере 1а) числитель раскладывается так:

\[ x^3-2x+1=(x-1)(x^2+x-1), \]

а \(x=-8\) — выколотая точка, потому что знаменатель \(x+8\) не может быть нулём.

3. Формулы сокращённого умножения

Основные:

\[ (a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2, \]

\[ a^2-b^2=(a-b)(a+b). \]

Пример с №2:

\[ \frac{(4x-3y)^2-(4x+3y)^2}{4xy}. \]

Применяем разность квадратов:

\[ A^2-B^2=(A-B)(A+B). \]

Тогда:

\[ (4x-3y)^2-(4x+3y)^2= \]

\[ =(-6y)(8x)=-48xy. \]

Делим на \(4xy\):

\[ \frac{-48xy}{4xy}=-12. \]

Ответ: \(-12\), при \(x\ne0,\ y\ne0\).

Похожее упрощение:

\[ \frac{x^3-3x+2}{(x-1)(x^2-9)} = \frac{(x-1)(x+2)}{(x-3)(x+3)}, \]

при \(x\ne1,\ x\ne3,\ x\ne-3\). Если там был знак неравенства, дальше нужно рисовать интервалы.

Шпора на контрольную

1. ОДЗ: все знаменатели не равны нулю. Это выписывай первым делом.
2. Уравнение: разложи знаменатели → общий знаменатель → числитель равен нулю → проверь корни по ОДЗ.
3. Неравенство: всё в одну часть, справа \(0\) → разложи на множители → метод интервалов.
4. Точки: нули числителя включаются при \(\le,\ge\); нули знаменателя всегда выколоты.
5. Знак: подставь удобное число из промежутка. Если множитель в чётной степени, знак при переходе через его корень не меняется.
6. Разложение: общий множитель, группировка, формулы сокращённого умножения, корни квадратного уравнения.
7. Проверка: подставь найденный корень в исходное уравнение. В неравенстве проверь знак в одной точке.
8. Частая ошибка: сократить дробь и забыть выколотую точку, которую давал старый знаменатель.

Нижнее уравнение — тот же тип: там нужен общий знаменатель \(x^2-1=(x-1)(x+1)\) и проверка \(x\ne\pm1\).