в первом задании должно быть х2 - ….. не равно 0 дискриминант х1 х2 ответ во втором: по примеру из второй фотки
Сверь числа и знаки с фото.
Контрольная работа №1 B2 А9 1.Найти область определения функции \(y=\frac{2x}{x^2-x-6}\) 2.Построить график и исследовать функцию \(y=(x+3)^2-1\) 3. Исследовать функцию, ограниченную на промежутке \([-5;4]\) [Рисунок: график функции \(y=f(x)\) на координатной плоскости с сеткой; на оси \(x\) отмечены значения от \(-5\) до \(4\), на оси \(y\) — от \(-2\) до \(4\); кривая с максимумом в точке \((-2;4)\), затем убывает до минимума около точки \((2;-1{,}5)\) и снова возрастает; слева подпись \(y=f(x)\)]
Глава II Функции и графики 38 [Таблицы свойств функций со строками: 1 Область определения, 2 Множество значений, 3 Нули функции, 4 Промежутки знакопостоянства, 5 Промежутки монотонности, 6 Наибольшее/наименьшее значение, 7 Чётность/нечётность] Функция \(f(x)=x^2\) [Рисунок: парабола \(f(x)=x^2\) с вершиной в начале координат, ветви вверх; на осях отмечены \(-1\), \(0\), \(1\) по оси \(x\) и \(1\), \(2\) по оси \(y\)] 1 Область определения — \(D(f)=(-\infty;+\infty)\) 2 Множество значений — \(E(f)=[0;+\infty)\) 3 Нули функции — \(x=0\) 4 Промежутки знакопостоянства — \(f(x)>0\) при \(x\ne 0\) 5 Промежутки монотонности — Убывает на \((-\infty;0]\), возрастает на \([0;+\infty)\) 6 Наибольшее/наименьшее значение — При \(x=0\) принимает наименьшее значение, равное нулю 7 Чётность/нечётность — Чётная § 3. Функции и их свойства 39
Кратко
№1. Знаменатель не должен равняться нулю: \[x^2-x-6\ne 0,\qquad D=25,\qquad x_1=3,\quad x_2=-2\] \[D(y)=(-\infty;-2)\cup(-2;3)\cup(3;+\infty)\] то есть все числа, кроме \(-2\) и \(3\).
№2. \(y=(x+3)^2-1\) — парабола, вершина \((-3;-1)\), ветви вверх; все свойства — в таблице ниже (по образцу со второй фотографии).
№1. Область определения \(y=\dfrac{2x}{x^2-x-6}\)
Принцип. Числитель \(2x\) определён при любом \(x\), поэтому ограничение даёт только знаменатель: там, где он равен нулю, функция не существует.
- Условие: \[x^2-x-6\ne 0\]
- Дискриминант: \[D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot(-6)=1+24=25,\qquad \sqrt{D}=5\]
- Корни (это «запрещённые» точки, их выкалываем): \[x_1=\frac{1+5}{2}=3,\qquad x_2=\frac{1-5}{2}=-2\]
- Ответ: \(D(y)=(-\infty;-2)\cup(-2;3)\cup(3;+\infty)\), или коротко: \(x\ne -2,\ x\ne 3\).
Проверка: \((x-3)(x+2)=x^2-x-6\) — верно, значит нули знаменателя найдены правильно.
№2. График и исследование \(y=(x+3)^2-1\)
Принцип. Это график \(y=x^2\), сдвинутый на \(3\) влево и на \(1\) вниз: вершина \((-3;-1)\), ветви вверх, ось симметрии \(x=-3\).
Точки для построения:
| \(x\) | \(-6\) | \(-5\) | \(-4\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(8\) | \(3\) | \(0\) | \(-1\) | \(0\) | \(3\) | \(8\) |
Исследование по пунктам таблицы:
| № | Свойство | Для \(y=(x+3)^2-1\) |
|---|---|---|
| 1 | Область определения | \(D(y)=(-\infty;+\infty)\) |
| 2 | Множество значений | \(E(y)=[-1;+\infty)\) |
| 3 | Нули функции | \(x=-4\) и \(x=-2\) (решение: \((x+3)^2=1\Rightarrow x+3=\pm1\)) |
| 4 | Промежутки знакопостоянства | \(y>0\) при \(x\in(-\infty;-4)\cup(-2;+\infty)\); \(y<0\) при \(x\in(-4;-2)\) |
| 5 | Промежутки монотонности | убывает на \((-\infty;-3]\), возрастает на \([-3;+\infty)\) |
| 6 | Наибольшее/наименьшее значение | наименьшее \(y=-1\) при \(x=-3\); наибольшего нет |
| 7 | Чётность/нечётность | ни чётная, ни нечётная: \(y(-x)=(3-x)^2-1\ne \pm y(x)\) |
Как проверить себя: все пункты 3–6 должны «читаться» с нарисованной параболы — где кривая пересекает ось \(x\), там нули; где ниже оси — там \(y<0\); самая низкая точка — вершина (наименьшее значение).
Третье задание (по готовому графику) в запрос не входило — если нужно, разберу и его.
