а) Решите уравнение cos2x = sin (x + π/2). б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [−2π; −π].
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Задания
Тип 14 № 507595
а) Решите уравнение \(\cos 2x = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)\).
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \([-2\pi; -\pi]\).
Краткий ответ
а) \(x = 2\pi n,\quad x = \pm\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k,\quad n,k \in \mathbb{Z}\).
б) На отрезке \([-2\pi;-\pi]\): \(x = -2\pi\) и \(x = -\dfrac{4\pi}{3}\).
Как решать
1. Убираем «сдвиг» по формуле приведения.
\[
\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\cos x
\]
Поэтому уравнение принимает вид:
\[
\cos 2x = \cos x
\]
2. Сводим к одной функции. Используем формулу косинуса двойного угла \(\cos 2x = 2\cos^2 x - 1\): \[ 2\cos^2 x - 1 = \cos x \] \[ 2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0 \]
3. Решаем квадратное уравнение относительно \(\cos x\).
Пусть \(t=\cos x\), тогда \(2t^2-t-1=0\). Дискриминант \(D=1+8=9\):
\[
t=\frac{1\pm 3}{4}
\]
Отсюда \(t=1\) или \(t=-\dfrac{1}{2}\).
4. Возвращаемся к \(x\).
- \(\cos x = 1 \Rightarrow x=2\pi n\);
- \(\cos x = -\dfrac{1}{2} \Rightarrow x=\pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k\).
5. Отбираем корни на отрезке \([-2\pi;-\pi]\).
Для серии \(2\pi n\): \[ -2\pi \le 2\pi n \le -\pi \Rightarrow -1 \le n \le -\frac{1}{2} \] Целое \(n=-1\), значит \(x=-2\pi\).
Для серии \(\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k\): \[ -2\pi \le \frac{2\pi}{3}+2\pi k \le -\pi \] \[ -\frac{4}{3} \le k \le -\frac{5}{6} \] Подходит \(k=-1\), тогда \(x=\dfrac{2\pi}{3}-2\pi=-\dfrac{4\pi}{3}\).
Для серии \(-\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k\): \[ -\frac{2}{3} \le k \le -\frac{1}{6} \] Целых \(k\) нет — корней на отрезке эта серия не даёт.
Проверка:
\(\cos\left(-\dfrac{4\pi}{3}\right)=-\dfrac{1}{2}\), а \(\sin\left(-\dfrac{4\pi}{3}+\dfrac{\pi}{2}\right)=\sin\left(-\dfrac{5\pi}{6}\right)=-\dfrac{1}{2}\) — верно.
Для \(x=-2\pi\): \(\cos(-2\pi)=1\), \(\sin\left(-\dfrac{3\pi}{2}\right)=1\) — тоже верно.
Ответ:
а) \(2\pi n;\ \pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\ n,k\in\mathbb{Z}\).
б) \(-2\pi;\ -\dfrac{4\pi}{3}\).
Обсуждение
2 сообщенияЗачем сводить к косинусу двойного угла
Коротко
Свести к \(\cos x\) нужно для того, чтобы в уравнении осталась одна функция от одного аргумента. Тогда тригонометрическое уравнение превращается в обычное алгебраическое (квадратное), и его можно решать привычными шагами.
Почему без этого не обойтись
В уравнении стоят \(\cos 2x\) и \(\cos x\) — это разные аргументы, их нельзя ни складывать, ни сравнивать как одно и то же. Формула \[ \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 \] «переводит» \(\cos 2x\) в выражение только через \(\cos x\), и получается \[ 2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0. \] Дальше это квадратное уравнение относительно \(t=\cos x\), и остаётся только раскрутить серии корней.
Важно взять именно косинус двойного угла через косинус, а не через синус: иначе получится смесь \(\sin x\) и \(\cos x\), и придётся делать ещё одну замену. Правило простое: сводим к той функции, которая уже есть в уравнении.
Есть и второй путь — без квадратного уравнения
Можно перенести всё в одну сторону и применить разность косинусов: \[ \cos 2x - \cos x = -2\sin\frac{3x}{2}\sin\frac{x}{2} = 0. \] Отсюда \(\sin\frac{3x}{2}=0\), то есть \(x=\frac{2\pi n}{3}\), а \(\sin\frac{x}{2}=0\) даёт \(x=2\pi k\) — это уже часть предыдущей серии. Ответ получается компактнее: \[ x=\frac{2\pi n}{3}. \]
Оба ответа — одно и то же множество: при \(n\), кратном 3, получаются \(2\pi k\), а при остальных \(n\) — точки \(\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k\). Для пункта (б) компактная запись даже удобнее: на \([-2\pi;-\pi]\) попадают \(n=-3\) и \(n=-2\), то есть \(-2\pi\) и \(-\frac{4\pi}{3}\).
