Контрольная работа №5 1. Ребро основания правильной четырехугольной пирамиды 4 м, апофема 5 м. Найдите площадь боковой и полной поверхности пирамиды.

Краткие ответы:

1. \(S_{\text{бок}}=40\) м², \(S_{\text{полн}}=56\) м².
2. \(V=192\pi\) см³, \(S_{\text{бок}}=48\pi\) см², \(S_{\text{полн}}=176\pi\) см².
3. \(V=336\) куб. ед.
4. \(10\) банок.

Как решать:

1. Основание правильной четырёхугольной пирамиды — квадрат со стороной \(4\) м, апофема \(l=5\) м.
   Боковая поверхность: \[ S_{\text{бок}}=\frac12 P_{\text{осн}}l=\frac12\cdot(4\cdot4)\cdot5=40\ \text{м}^2. \] Площадь основания: \[ S_{\text{осн}}=4^2=16\ \text{м}^2. \] Полная поверхность: \[ S_{\text{полн}}=40+16=56\ \text{м}^2. \]

2. Вращение вокруг меньшей стороны \(3\) см: это высота цилиндра \(h=3\) см, радиус \(R=8\) см.
   Объём: \[ V=\pi R^2h=\pi\cdot8^2\cdot3=192\pi\ \text{см}^3. \] Боковая поверхность: \[ S_{\text{бок}}=2\pi Rh=2\pi\cdot8\cdot3=48\pi\ \text{см}^2. \] Полная поверхность: \[ S_{\text{полн}}=S_{\text{бок}}+2\pi R^2=48\pi+2\pi\cdot64=176\pi\ \text{см}^2. \]

3. Многогранник можно разбить на два прямоугольных параллелепипеда. По рисунку у левого измерения \(4\), \(4\), \(7\), у правого — \(4\), \(8\), \(7\).
   Тогда: \[ V=4\cdot4\cdot7+4\cdot8\cdot7=112+224=336. \]

4. Козырек — половина цилиндра. Площадь окрашиваемой внешней поверхности: \[ S=\pi R L=3\cdot3\cdot7=63\ \text{м}^2. \] Масса краски: \[ 63\cdot220=13860\ \text{г}=13{,}86\ \text{кг}. \] Одна банка — \(1{,}5\) кг, поэтому: \[ 13{,}86:1{,}5=9{,}24. \] Нужно целое число банок, округляем вверх: \(10\) банок. Проверка: \(9\) банок дают \(13{,}5\) кг — этого мало, \(10\) банок — \(15\) кг, хватит.