Рассмотри изображение вместе с последним сообщением и историей диалога. Сначала определи, это продолжение текущей учебной цели или самостоятельное новое задание.

Ответ: \(18\).

Пусть ребро куба равно \(a\). Тогда

\[ a^3=144. \]

Плоскость проходит через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины, значит отсекаемая треугольная призма имеет:

• прямоугольный треугольник в основании с катетами \(\frac a2\) и \(\frac a2\);
• высоту, равную ребру куба \(a\).

Площадь основания:

\[ S_{\text{осн}}=\frac12\cdot\frac a2\cdot\frac a2=\frac{a^2}{8}. \]

Объём призмы:

\[ V=S_{\text{осн}}\cdot h =\frac{a^2}{8}\cdot a =\frac{a^3}{8}. \]

Подставляем \(a^3=144\):

\[ V=\frac{144}{8}=18. \]

Проверка: отсекаемая призма составляет \(\frac18\) объёма куба, то есть \(144:8=18\).

Степень корня — это по сути «перевод» корня в дробную степень, и почти все свойства получаются из свойств степеней.

1. Определение и главная связь

\[ \sqrt[n]{a}=b \iff b^n=a \]

При этом для чётного \(n\) нужно \(a\ge 0\) и \(b\ge 0\); для нечётного \(n\) подкоренное выражение может быть любым.

Связь со степенью:

\[ \sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}} \qquad (a\ge 0) \]

Отсюда и «сокращение» степени корня со степенью подкоренного выражения:

\[ \sqrt[nk]{a^{mk}}=\sqrt[n]{a^{m}} \qquad (a\ge 0) \]

Пример: \(\sqrt[6]{64}=\sqrt[6]{2^6}=\sqrt[3]{2^3}=2\).

2. Свойства, где степень корня работает как обычный множитель

\[ \sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b} \]

\[ \sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \quad (b\ne 0) \]

\[ \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a} \]

\[ \sqrt[n]{a^k}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^{k} \]

\[ \left(\sqrt[n]{a}\right)^{n}=a \]

То есть степени корней при «корне из корня» перемножаются, а при возведении в степень — выносятся наружу.

3. Где чаще всего ошибаются

Обратное свойство — \(\sqrt[n]{a^n}\):

\[ \sqrt[n]{a^n}=|a| \text{ при чётном } n, \qquad \sqrt[n]{a^n}=a \text{ при нечётном } n \]

Например, \(\sqrt[4]{(-3)^4}=|-3|=3\), а \(\sqrt[3]{(-2)^3}=-2\).

Внесение множителя под знак корня: \(a\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a^n b}\) — только при \(a\ge 0\). Если \(a<0\) и \(n\) чётное, так делать нельзя.

4. Как степень корня влияет на величину

При \(a>0\) функция \(\sqrt[n]{a}\) убывает с ростом \(n\):

\[ \sqrt{a}>\sqrt[3]{a}>\sqrt[4]{a} \quad (a>1) \]

А для \(0<a<1\) — наоборот, растёт. При этом \(\sqrt[n]{a}\to 1\) при \(n\to\infty\). Это прямое следствие записи \(a^{1/n}\): чем больше знаменатель показателя, тем ближе степень к \(1\).

Проверка на примере: \(\sqrt[6]{a^4}=\sqrt[3]{a^2}=a^{2/3}\) при \(a\ge 0\). Если \(a=-8\), то запись \(\sqrt[6]{(-8)^4}=\sqrt[6]{4096}=4\), а не \(-8\) — модуль обязателен.

Если нужно, могу разобрать преобразование конкретного выражения с корнями или дать несколько примеров на сокращение степени.