615. Решите уравнение: а) 3 (x + 4)² = 10x + 32; б) 31x + 77 = 15 (x + 1)².
615
Сверь числа и знаки с фото.
- Решите уравнение: а) 3 (x + 4)² = 10x + 32; б) 31x + 77 = 15 (x + 1)².
Краткий ответ: а) \(x_{1}=-2,\ x_{2}=-\dfrac{8}{3}\); б) \(x_{1}=-2,\ x_{2}=\dfrac{31}{15}\).
Как решать (на примере а):
- Раскрываем квадрат: \[ 3(x+4)^2=3(x^2+8x+16)=3x^2+24x+48. \]
- Переносим всё в левую часть и приводим подобные: \[ 3x^2+24x+48-10x-32=0, \] \[ 3x^2+14x+16=0. \]
- Находим дискриминант: \[ D=14^2-4\cdot 3\cdot 16=196-192=4. \]
- Корни: \[ x=\frac{-14\pm\sqrt{4}}{2\cdot 3}=\frac{-14\pm 2}{6}. \] Значит, \[ x_{1}=\frac{-12}{6}=-2,\qquad x_{2}=\frac{-16}{6}=-\frac{8}{3}. \]
Пункт б: \[ 31x+77=15(x+1)^2, \] \[ 15x^2+30x+15-31x-77=0, \] \[ 15x^2-x-62=0. \] \[ D=(-1)^2-4\cdot 15\cdot(-62)=1+3720=3721=61^2. \] \[ x=\frac{1\pm 61}{30}. \] Отсюда \[ x_{1}=\frac{62}{30}=\frac{31}{15},\qquad x_{2}=\frac{-60}{30}=-2. \]
Проверка:
- В а) при \(x=-2\): левая часть \(3\cdot 2^2=12\), правая \(10\cdot(-2)+32=12\). Верно.
- В б) при \(x=-2\): левая часть \(-62+77=15\), правая \(15\cdot(-1)^2=15\). Верно.
Главный принцип: любое такое уравнение сначала приводим к виду \(ax^2+bx+c=0\), затем считаем дискриминант. Если \(D>0\), корней два; если \(D=0\), один; если \(D<0\), корней нет.
Обсуждение
2 сообщения615
На фото — ровно то же задание 615, условие совпадает с тем, что я решал:
\[ \text{а) } 3(x+4)^2=10x+32,\qquad \text{б) } 31x+77=15(x+1)^2. \]
Ответы прежние и верные:
- а) \(x_{1}=-2,\quad x_{2}=-\dfrac{8}{3}\);
- б) \(x_{1}=-2,\quad x_{2}=\dfrac{31}{15}\).
Порядок корней в ответе не важен — можно записывать в любом порядке.
Быстрая проверка подстановкой:
а) При \(x=-2\): \[ 3(-2+4)^2=3\cdot 4=12,\qquad 10\cdot(-2)+32=12. \] При \(x=-\dfrac{8}{3}\): \[ 3\left(\frac{4}{3}\right)^2=\frac{16}{3},\qquad 10\cdot\left(-\frac{8}{3}\right)+32=\frac{16}{3}. \]
б) При \(x=-2\): \[ 31\cdot(-2)+77=15,\qquad 15\cdot(-2+1)^2=15. \] При \(x=\dfrac{31}{15}\): \[ 31\cdot\frac{31}{15}+77=\frac{2116}{15},\qquad 15\left(\frac{46}{15}\right)^2=\frac{2116}{15}. \]
Оба корня в каждом пункте подходят. Главный принцип: раскрыть скобки, перенести всё в одну часть, привести к виду \(ax^2+bx+c=0\) и решить через дискриминант.
