№152 1) ∛(x+1)=(∛3)³; 2) (√(x−2))²=(√6)²; —√(x+8)=2; ∛(2x−3)=2; √(6−x)=4

Коротко — три нижних уравнения:

1. \(\sqrt{x+8}=2 \;\Rightarrow\; x=-4\)
2. \(\sqrt[3]{2x-3}=2 \;\Rightarrow\; x=5{,}5\)
3. \(\sqrt{6-x}=4 \;\Rightarrow\; x=-10\)

Принцип. Уравнение вида \(\sqrt[n]{f(x)}=a\) решают возведением обеих частей в \(n\)-ю степень: \(f(x)=a^{n}\). При чётном \(n\) правая часть должна быть неотрицательной, при нечётном \(n\) ограничений нет. В конце — подстановка.

1) \(\sqrt{x+8}=2\). ОДЗ: \(x+8\ge 0\). \[x+8=2^{2}=4 \;\Rightarrow\; x=-4\] Проверка: \(\sqrt{-4+8}=\sqrt{4}=2\). Верно.

2) \(\sqrt[3]{2x-3}=2\). Возвожу в куб: \[2x-3=2^{3}=8 \;\Rightarrow\; 2x=11 \;\Rightarrow\; x=5{,}5\] Проверка: \(\sqrt[3]{2\cdot 5{,}5-3}=\sqrt[3]{8}=2\). Верно.

3) \(\sqrt{6-x}=4\). ОДЗ: \(6-x\ge 0\). \[6-x=4^{2}=16 \;\Rightarrow\; x=-10\] Проверка: \(\sqrt{6-(-10)}=\sqrt{16}=4\). Верно.

Посторонних корней нет: правые части положительны, а под корнями после подстановки — нужные числа. (Если перед первым корнем стоит именно минус, то \(-\sqrt{x+8}=2\) решений не имеет: корень неотрицателен.)

Про верх страницы (№152, 1) и 2). Там правые части записаны нечётко, поэтому точный ответ не берусь назвать. Правило то же: \(\sqrt[3]{x+1}=b \Rightarrow x=b^{3}-1\). Если \(b=(\sqrt[3]{3})^{3}=3\), то \(x=26\); если \(b=(\sqrt[3]{3})^{2}=\sqrt[3]{9}\), то \(x=8\) (как у тебя в тетради). Запись «Ответ \(x=\frac{1}{3}\)» к этому уравнению не подходит — похоже, осталась от другого номера. Пришли верх страницы почётче — разберу оба номера полностью.