Приведите каждое из следующих отношений к упрощённому виду.
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Закрепление главы 3
1 Приведите каждое из следующих отношений к упрощённому виду. a \(25:35\) b \(8:120\) c \(9\ \text{м}:30\ \text{м}\) d \(60:36\) e \(200\ \text{см}:30\ \text{см}\) f \(5\ \text{кг}:1000\ \text{г}\) g \(7{,}8:4{,}8\)
2 Запишите эквивалентное отношение для каждого из данных. a \(4:3\) b \(6:8\) c \(6{,}4:1{,}6\) d \(0{,}01:0{,}02\)
3 Найдите отношение площади восьмиугольника к площади овала. Запишите ответ в упрощённом виде. [Рисунок: розовый восьмиугольник, подпись «Площадь = \(49\ \text{см}^2\)»; оранжевый овал, подпись «Площадь = \(56\ \text{см}^2\)».]
4 Мэрим и её брат делят бутылку молока в отношении \(5:7\). Если количество молока составляет \(600\ \text{мл}\), сколько получит каждый из них?
5 За месяц аквариум посетили \(5000\) человек. Отношение количества мужчин и женщин среди посетителей составило \(3:5\). Сколько было мужчин и сколько женщин?
6 Лента длиной \(90\ \text{см}\) разрезана на две части в отношении \(4:6\). Найдите длину меньшего куска.
7 Толгонай работала \(2\) полных дня и получила \(6300\ \text{с}\). Алтынай работала \(3\) полных дня и получила \(9000\ \text{с}\). Справедливую ли оплату они получили?
На фото — страница «Закрепление главы 3» с семью заданиями. Я разобрал все по порядку: сначала краткие ответы, затем принцип решения.
Краткие ответы
- a) \(5:7\); b) \(1:15\); c) \(3:10\); d) \(5:3\); e) \(20:3\); f) \(5:1\); g) \(13:8\).
- a) \(8:6\); b) \(3:4\); c) \(4:1\); d) \(1:2\). Подойдут и другие равные отношения.
- \(7:8\).
- Мэрим — \(250\) мл, брат — \(350\) мл.
- Мужчин — \(1875\), женщин — \(3125\).
- \(36\) см.
- Нет, несправедливо: \(3150\) с/день у Толгонай и \(3000\) с/день у Алтынай.
Как решать
1. Упрощение отношений.
Отношение \(a:b\) — это сравнение делением, то есть дробь \(\frac{a}{b}\). Чтобы упростить, делим оба члена на их наибольший общий делитель. Если единицы разные, сначала приводим их к одной.
- \(25:35 = 5:7\) — оба числа делим на 5.
- \(8:120 = 1:15\) — делим на 8.
- \(9\ \text{м}:30\ \text{м} = 9:30 = 3:10\).
- \(60:36 = 5:3\) — делим на 12.
- \(200\ \text{см}:30\ \text{см} = 200:30 = 20:3\).
- \(5\ \text{кг}:1000\ \text{г}\): переводим килограммы в граммы: \(5\ \text{кг}=5000\ \text{г}\). Тогда \(5000:1000 = 5:1\). Здесь нельзя сокращать 5 и 1000 напрямую — единицы разные.
- \(7{,}8:4{,}8 = 78:48 = 13:8\) — умножили оба числа на 10, затем разделили на 6.
2. Эквивалентные отношения.
Эквивалентное отношение равно данному. Его получают умножением или делением обоих членов на одно и то же число.
- \(4:3 = 8:6\) — умножили на 2.
- \(6:8 = 3:4\) — разделили на 2.
- \(6{,}4:1{,}6 = 64:16 = 4:1\).
- \(0{,}01:0{,}02 = 1:2\) — умножили на 100.
3. Отношение площадей.
Сначала идёт площадь восьмиугольника, потом овала: \(49:56\). Оба числа делятся на 7, поэтому \(49:56 = 7:8\). Проверка: \(7\cdot 7=49\), \(8\cdot 7=56\).
4. Деление молока в отношении \(5:7\).
Всего частей: \(5+7=12\). Одна часть: \(600:12=50\) мл.
Мэрим: \(5\cdot 50=250\) мл; брат: \(7\cdot 50=350\) мл.
Проверка: \(250+350=600\), \(250:350=5:7\).
5. Мужчины и женщины.
Всего частей: \(3+5=8\). Одна часть: \(5000:8=625\) человек.
Мужчины: \(3\cdot 625=1875\); женщины: \(5\cdot 625=3125\).
Проверка: \(1875+3125=5000\), \(1875:3125=3:5\).
6. Лента \(90\) см в отношении \(4:6\).
Всего частей: \(4+6=10\). Одна часть: \(90:10=9\) см.
Меньший кусок — это 4 части: \(4\cdot 9=36\) см.
Проверка: \(36+54=90\), \(36:54=4:6\).
7. Справедлива ли оплата?
Сравниваем оплату за один день:
Толгонай: \(6300:2=3150\) с/день.
Алтынай: \(9000:3=3000\) с/день.
Ставки разные, поэтому оплата несправедлива. Если бы платили пропорционально отработанным дням, отношение оплат было бы \(2:3\). Но \(6300:9000=7:10\), а \(7:10\neq 2:3\).
Общий приём для задач 4–6: если величину \(S\) делят в отношении \(a:b\), то всего \(a+b\) частей, а куски равны \(S\cdot\frac{a}{a+b}\) и \(S\cdot\frac{b}{a+b}\).
Обсуждение
4 сообщенияРаспиши все номера как решил
Ниже — полное решение каждого номера по шагам, с проверкой.
1. Упрости отношения
Общее правило: отношение \(a:b\) — это дробь \(\frac{a}{b}\). Делим оба члена на их НОД. Если единицы разные — сначала приводим к одной.
a) \(25:35\)
НОД\((25,35)=5\): \(25:35=(25:5):(35:5)=5:7\).
b) \(8:120\)
НОД\((8,120)=8\): \(8:120=1:15\).
c) \(9\ \text{м}:30\ \text{м}\)
Единицы одинаковые, метры можно не переводить: \(9:30\). НОД \(=3\): \(9:30=3:10\).
d) \(60:36\)
НОД\((60,36)=12\): \(60:36=5:3\).
e) \(200\ \text{см}:30\ \text{см}\)
Единицы одинаковые: \(200:30\). НОД \(=10\): \(200:30=20:3\).
f) \(5\ \text{кг}:1000\ \text{г}\)
Единицы разные — переводим: \(5\ \text{кг}=5000\ \text{г}\).
\[
5000:1000=(5000:1000):(1000:1000)=5:1.
\]
Сокращать «5 и 1000» напрямую нельзя: это разные единицы.
g) \(7{,}8:4{,}8\)
Умножаем оба члена на 10, чтобы убрать запятые: \(78:48\). НОД \(=6\): \(78:48=13:8\).
Ответы: a) \(5:7\); b) \(1:15\); c) \(3:10\); d) \(5:3\); e) \(20:3\); f) \(5:1\); g) \(13:8\).
2. Запиши отношение, равное данному
Правило: умножаем или делим оба члена на одно и то же число (не на нуль) — получаем равное отношение.
a) \(4:3\) — умножаем на 2:
\[
4:3=(4\cdot2):(3\cdot2)=8:6.
\]
b) \(6:8\) — делим на 2:
\[
6:8=(6:2):(8:2)=3:4.
\]
c) \(6{,}4:1{,}6\) — умножаем на 10, затем сокращаем:
\[
6{,}4:1{,}6=64:16=4:1.
\]
d) \(0{,}01:0{,}02\) — умножаем на 100:
\[
0{,}01:0{,}02=1:2.
\]
Ответы: a) \(8:6\); b) \(3:4\); c) \(4:1\); d) \(1:2\). (Подойдут и другие равные отношения, например \(12:9\) в пункте a.)
3. Отношение площади восьмиугольника к площади овала
Площади: восьмиугольник — \(49\), овал — \(56\).
\[
49:56=(49:7):(56:7)=7:8.
\]
Проверка: \(7\cdot7=49\), \(8\cdot7=56\).
Ответ: \(7:8\).
4. \(600\) мл молока в отношении \(5:7\)
Шаг 1. Считаем число частей:
\[
5+7=12\ \text{частей}.
\]
Шаг 2. Находим, сколько миллилитров в одной части:
\[
600:12=50\ \text{мл}.
\]
Шаг 3. Мэрим — 5 частей, брат — 7 частей:
\[
5\cdot50=250\ \text{мл},\qquad 7\cdot50=350\ \text{мл}.
\]
Проверка: \(250+350=600\) мл; \(250:350=5:7\).
Ответ: Мэрим — \(250\) мл, её брат — \(350\) мл.
5. \(5000\) человек, мужчины и женщины в отношении \(3:5\)
Шаг 1. Число частей:
\[
3+5=8.
\]
Шаг 2. Одна часть:
\[
5000:8=625\ \text{человек}.
\]
Шаг 3. Мужчины — 3 части, женщины — 5 частей:
\[
3\cdot625=1875,\qquad 5\cdot625=3125.
\]
Проверка: \(1875+3125=5000\); \(1875:3125=3:5\).
Ответ: мужчин — \(1875\), женщин — \(3125\).
6. Лента \(90\) см в отношении \(4:6\), меньший кусок
Шаг 1. Число частей:
\[
4+6=10.
\]
Шаг 2. Одна часть:
\[
90:10=9\ \text{см}.
\]
Шаг 3. Меньший кусок — это 4 части:
\[
4\cdot9=36\ \text{см}.
\]
(Больший: \(6\cdot9=54\) см.)
Проверка: \(36+54=90\) см; \(36:54=4:6\).
Ответ: \(36\) см.
7. Справедлива ли оплата?
Сравнивать нужно оплату за один день — это и есть «одинаковая оплата за одинаковую работу».
Шаг 1. Толгонай: \(6300\) с за 2 дня:
\[
6300:2=3150\ \text{с/день}.
\]
Шаг 2. Алтынай: \(9000\) с за 3 дня:
\[
9000:3=3000\ \text{с/день}.
\]
Шаг 3. Сравниваем: \(3150\neq3000\) — дневные ставки разные, значит оплата несправедлива.
Можно проверить и через отношение:
\[
6300:9000=7:10,\quad\text{а отработанные дни } 2:3.
\]
При справедливой оплате отношение зарплат должно было быть \(2:3\), но \(7:10\neq2:3\) (потому что \(7:10=21:30\), а \(2:3=20:30\)).
Ответ: несправедливо: у Толгонай \(3150\) с за день, у Алтынай \(3000\) с за день.
Общее правило для задач на деление в отношении
Если величину \(S\) делят в отношении \(a:b\), то: \[ \text{частей } = a+b,\qquad \text{одна часть }=\frac{S}{a+b}, \] \[ \text{первая доля}=\frac{a}{a+b}\,S,\qquad \text{вторая доля}=\frac{b}{a+b}\,S. \]
Проверяйте себя двумя способами: сумма долей равна \(S\), а их отношение — заданному.
Дай ещё задачу на деление в отношении
Вот задача на деление величины в заданном отношении — того же типа, что №4–6.
Задача
Для напитка смешивают яблочный и виноградный сок в отношении \(3:5\). Сколько миллилитров каждого сока нужно взять, чтобы получить \(800\) мл напитка?
Решение
Шаг 1. Всего частей: \[ 3+5=8. \]
Шаг 2. Одна часть: \[ 800:8=100\ \text{мл}. \]
Шаг 3. Яблочный сок — 3 части, виноградный — 5 частей: \[ 3\cdot100=300\ \text{мл},\qquad 5\cdot100=500\ \text{мл}. \]
Проверка: \(300+500=800\) мл; \(300:500=3:5\).
Ответ: яблочного сока — \(300\) мл, виноградного — \(500\) мл.
Кстати, на фото два задания на понимание отношений:
- Про яблоки и апельсины. Рассуждение Гульбарый неверно. Отношение \(4:5\) означает, что на каждые 4 части яблок приходится 5 частей апельсинов, но размер одной части не задан. Яблок и апельсинов может быть \(4\) и \(5\), а может быть \(8\) и \(10\), \(12\) и \(15\) и т. д.
- Про \(2\frac{1}{3}:\frac{1}{3}\). Утверждение неверно: \[ 2\frac{1}{3}:\frac{1}{3}=\frac{7}{3}:\frac{1}{3}=7:1, \] а не \(2:3\). Правильно говорить, что это отношение эквивалентно \(7:1\).
