как выполлнить номер 461 как сокрашать нужно

В № 461 нужно разложить числитель и знаменатель на множители, а затем сократить одинаковые скобки. Сокращать отдельные слагаемые нельзя: например, \(x^2\) с \(x^2\) зачёркивать не разрешается.

Ответы:

1. \(\dfrac{x+7}{x-6}\), где \(x\ne1,\ x\ne6\);
2. \(\dfrac{x-9}{x+8}\), где \(x\ne-1,\ x\ne-8\);
3. \(\dfrac{x-5}{2-x}\) — то же, что \(\dfrac{5-x}{x-2}\), где \(x\ne2,\ x\ne3\);
4. \(\dfrac{9-x}{x-5}\), где \(x\ne-4,\ x\ne5\).

Как это получается

Для квадратного трёхчлена с корнями \(x_1\) и \(x_2\):

\[ x^2+px+q=(x-x_1)(x-x_2) \]

Корни удобно подбирать по теореме Виета:

\[ x_1+x_2=-p,\qquad x_1x_2=q \]

Если перед \(x^2\) стоит минус, сначала вынеси \(-1\).

1)

\[ x^2+6x-7=(x+7)(x-1) \]

\[ x^2-7x+6=(x-1)(x-6) \]

Поэтому:

\[ \frac{(x+7)(x-1)}{(x-1)(x-6)} =\frac{x+7}{x-6} \]

Скобка \(x-1\) сократилась, но значение \(x=1\) всё равно недопустимо: исходная дробь при нём не имеет смысла.

2)

\[ x^2-8x-9=(x-9)(x+1) \]

\[ x^2+9x+8=(x+1)(x+8) \]

\[ \frac{(x-9)(x+1)}{(x+1)(x+8)} =\frac{x-9}{x+8} \]

3) Здесь важно следить за знаком

\[ x^2-8x+15=(x-3)(x-5) \]

\[ -x^2+5x-6=-(x^2-5x+6)=-(x-2)(x-3) \]

\[ \frac{(x-3)(x-5)}{-(x-2)(x-3)} =\frac{x-5}{2-x} \]

Можно записать и так:

\[ \frac{x-5}{2-x}=\frac{5-x}{x-2} \]

4)

\[ 36+5x-x^2=(9-x)(x+4) \]

\[ x^2-x-20=(x-5)(x+4) \]

\[ \frac{(9-x)(x+4)}{(x-5)(x+4)} =\frac{9-x}{x-5} \]

Проверка для первого примера. При \(x=2\):

\[ \frac{2^2+6\cdot2-7}{2^2-7\cdot2+6} =\frac{9}{-4} \]

и

\[ \frac{2+7}{2-6}=\frac{9}{-4} \]

Результаты совпали.