розвяжи завдання

Короткі відповіді

1. 1) \((-2;\,3)\); 2) \([-3;\,+\infty)\); 3) \((12;\,14]\). 2. 1) \(\varnothing\) (розв'язків немає); 2) \((6;\,+\infty)\). 3. \((1;\,3]\). 4. \(-1\).

Принцип: система — це перетин розв'язків

Розв'язуємо кожну нерівність окремо, а потім беремо спільну частину (там, де «стрілки» на числовій прямій накладаються).

1.1) \(x<3\) і \(x>-2\) → числа між ними: \(x\in(-2;\,3)\).

1.2) \(3x\ge -9 \Rightarrow x\ge -3\); далі \(-2x\le 10\) — ділимо на \(-2\), тому знак перевертається: \(x\ge -5\). Спільна частина — правіше від \(-3\): \([-3;\,+\infty)\).

1.3) \(\frac{1}{2}x\le 7 \Rightarrow x\le 14\); \(\frac{1}{6}x>2 \Rightarrow x>12\). Спільне: \((12;\,14]\).

2.1) \(x+4\le 5 \Rightarrow x\le 1\); \(x-2>3 \Rightarrow x>5\). Одночасно \(x\le 1\) і \(x>5\) бути не може — розв'язків немає.

2.2) \(0{,}5x+2>5 \Rightarrow x>6\); \(3-4x\le 1 \Rightarrow -4x\le -2 \Rightarrow x\ge 0{,}5\). Сильніша умова — \(x>6\), отже \((6;\,+\infty)\).

3. Подвійна нерівність. Діємо з усіма трьома частинами однаково: \[7<3x+4\le 13 \;\Longrightarrow\; 3<3x\le 9 \;\Longrightarrow\; 1<x\le 3.\] Знак \(\le\) справа зберігається, тому дужка квадратна: \((1;\,3]\).

4. Розкриваємо дужки: \[2x-14-x-4<21-12x \Rightarrow x-18<21-12x \Rightarrow 13x<39 \Rightarrow x<3;\] \[3x+12+5x-10\ge 2x-8 \Rightarrow 8x+2\ge 2x-8 \Rightarrow 6x\ge -10 \Rightarrow x\ge -\tfrac{5}{3}.\] Отже \(x\in\left[-\tfrac{5}{3};\,3\right)\). Цілі числа: \(-1,\,0,\,1,\,2\). Найменше серед них — \(-1\).

Перевірка для 4: при \(x=-1\): ліва частина першої нерівності \(2(-8)-3=-19<33\) ✓; друга: \(9-15=-6\ge -10\) ✓. А при \(x=-2\) друга вже не виконується (\(-14\ge -12\) — хибно), тобто \(-1\) справді найменше.

Головне на майбутнє: при множенні чи діленні нерівності на від'ємне число знак змінюється на протилежний; у системі розв'язок — тільки спільна частина проміжків.