Докажи утверждение методом перебора: «Остаток от деления на 8 любого числа из множества {42; 69; 75} не больше 5».

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
① Докажи утверждение методом перебора: «Остаток от деления на 8 любого числа из множества {42; 69; 75} не больше 5».
② Найди: а) $\frac{2}{15}$ от 60; б) число, 4% которого равны 200; в) часть, которую число 9 составляет от числа $m$.
③ В первый день туристы прошли 12 км, что составило $\frac{3}{4}$ пути, пройденного ими во второй день. В третий день они прошли $\frac{5}{14}$ всего их пути за первые два дня. Какой путь прошли туристы за эти три дня?
④* Докажи, что если каждое из двух чисел кратно 4, то их сумма кратна 4.

① Докажи утверждение методом перебора: «Остаток от деления на 7 любого числа из множества {19; 45; 62} не меньше 3».
② Найди: а) $\frac{5}{17}$ от 85; б) число, 5% которого равны 300; в) часть, которую число $k$ составляет от числа 27.
③ На первой клумбе растёт 18 роз, что составляет $\frac{2}{3}$ числа роз, посаженных на второй клумбе. На третьей клумбе растёт $\frac{5}{9}$ от общего числа роз на первых двух клумбах. Сколько всего роз растёт на этих трёх клумбах?
④* Докажи, что если одно из чисел делится на 2, а второе — делится на 3, то их произведение делится на 6.

Answer

Краткие ответы

Верхний блок: 1) остатки $2, 5, 3$, все не больше $5$; 2) а) $8$; б) $5000$; в) $\frac{9}{m}$; 3) $38$ км; 4) доказано.

Нижний блок: 1) остатки $5, 3, 6$, все не меньше $3$; 2) а) $25$; б) $6000$; в) $\frac{k}{27}$; 3) $70$ роз; 4) доказано.

Верхний блок

1. Делим каждое число на $8$ с остатком:

$$
42=8\cdot5+2,\qquad
69=8\cdot8+5,\qquad
75=8\cdot9+3.
$$

Остатки: $2, 5, 3$. Все они не больше $5$, значит, утверждение верно.

2.
а)
$$
60\cdot\frac{2}{15}=\frac{60}{15}\cdot2=4\cdot2=8.
$$

б) $4\%=\frac{4}{100}$. Если $4\%$ числа равны $200$, то само число:

$$
200:\frac{4}{100}=200\cdot\frac{100}{4}=5000.
$$

Проверка: $4\%$ от $5000$ — это $200$.

в) Число $9$ составляет от числа $m$ часть

$$
\frac{9}{m}.
$$

3.
В первый день туристы прошли $12$ км, и это $\frac34$ пути второго дня. Значит, во второй день:

$$
12:\frac34=12\cdot\frac43=16 \text{ км}.
$$

За первые два дня:

$$
12+16=28 \text{ км}.
$$

В третий день прошли $\frac{5}{14}$ от $28$:

$$
28\cdot\frac{5}{14}=10 \text{ км}.
$$

Всего за три дня:

$$
12+16+10=38 \text{ км}.
$$

Проверка: $\frac34$ от $16$ равно $12$; $\frac{5}{14}$ от $28$ равно $10$.

4. Пусть числа кратны $4$. Тогда их можно записать так:

$$
a=4k,\qquad b=4n.
$$

Их сумма:

$$
a+b=4k+4n=4(k+n).
$$

Сумма содержит множитель $4$, значит, она кратна $4$. Доказано.

Нижний блок

1. Делим с остатком на $7$:

$$
19=7\cdot2+5,\qquad
45=7\cdot6+3,\qquad
62=7\cdot8+6.
$$

Остатки: $5, 3, 6$. Каждый не меньше $3$, поэтому утверждение верно.

2.
а)
$$
85\cdot\frac{5}{17}=\frac{85}{17}\cdot5=5\cdot5=25.
$$

б) $5\%=\frac{5}{100}$. Если $5\%$ числа равны $300$, то число:

$$
300:\frac{5}{100}=300\cdot\frac{100}{5}=6000.
$$

в) Число $k$ составляет от числа $27$ часть

$$
\frac{k}{27}.
$$

3.
На первой клумбе $18$ роз, и это $\frac23$ числа роз на второй клумбе. Значит, на второй:

$$
18:\frac23=18\cdot\frac32=27 \text{ роз}.
$$

На первых двух клумбах:

$$
18+27=45 \text{ роз}.
$$

На третьей клумбе $\frac59$ от $45$:

$$
45\cdot\frac59=25 \text{ роз}.
$$

Всего:

$$
18+27+25=70 \text{ роз}.
$$

Проверка: $\frac23$ от $27$ равно $18$; $\frac59$ от $45$ равно $25$.

4. Пусть одно число делится на $2$, а второе — на $3$. Тогда:

$$
a=2m,\qquad b=3n.
$$

Их произведение:

$$
ab=2m\cdot3n=6mn.
$$

Оно содержит множитель $6$, значит, делится на $6$. Доказано.

Что запомнить

Чтобы найти $\frac{m}{n}$ от числа $A$, нужно вычислить $A\cdot\frac{m}{n}$.

Чтобы найти число по его дроби, нужно делить на эту дробь.

Чтобы найти, какую часть число $x$ составляет от $y$, нужно записать $\frac{x}{y}$.

При доказательстве кратности удобно записывать число через произведение: например, кратное $4$ — как $4k$.