Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Ответ тот же

\[ x_1=2,\qquad x_2=3 \]

Проще всего — подбором

У уравнения \(x^{2}-5x+6=0\) есть секрет: сумма корней равна \(5\), а произведение равно \(6\).

Ищем два числа, которые в сумме дают \(5\), а при умножении — \(6\):

\[ 2+3=5,\qquad 2\cdot 3=6 \]

Значит корни — \(2\) и \(3\). Всё.

Чуть иначе, тоже просто

\[ x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3) \]

Произведение равно нулю, значит один из множителей равен нулю:

\[ x-2=0 \Rightarrow x=2;\qquad x-3=0 \Rightarrow x=3 \]

Проверка

\[ 2^{2}-5\cdot 2+6=4-10+6=0 \] \[ 3^{2}-5\cdot 3+6=9-15+6=0 \]

Правило на будущее: если коэффициент перед \(x^{2}\) равен \(1\), ищи два числа — их сумма равна числу с минусом перед \(x\) (здесь \(5\)), а произведение — свободному члену (здесь \(6\)).

Совсем по шагам, без формул

Уравнение \(x^{2}-5x+6=0\) — это вопрос: какое число вместо \(x\) даёт в итоге 0?

Просто подставляем числа и считаем:

• \(x=1\): \(1-5+6=2\) — не 0, не подходит.
• \(x=2\): \(4-10+6=0\) — подходит! Значит \(2\) — корень.
• \(x=3\): \(9-15+6=0\) — тоже 0! Значит \(3\) — корень.

Всё, ответ: \(2\) и \(3\).

Откуда их взять, если не угадывать

Замечаем закономерность: \(x^{2}-5x+6\) получается, если перемножить \((x-2)\) и \((x-3)\). Проверим раскрытием скобок:

\[ (x-2)(x-3)=x^{2}-3x-2x+6=x^{2}-5x+6 \]

Сходится. А произведение равно нулю только тогда, когда один из множителей нулевой:

\[ x-2=0 \Rightarrow x=2;\qquad x-3=0 \Rightarrow x=3 \]

Как искать такие числа самому

Смотри на два числа в уравнении: \(5\) (стоит перед \(x\)) и \(6\) (свободное). Нужны два числа, которые:

• при сложении дают \(5\),
• при умножении дают \(6\).

Перебираем пары, дающие \(6\) при умножении: \(1\cdot 6\), \(2\cdot 3\). Суммы: \(7\) и \(5\). Подошла пара \(2\) и \(3\).

Скажи, что именно непонятно — откуда берутся числа \(2\) и \(3\), или что вообще называется корнем уравнения? Разберу тот кусок.

Скобки не угадывают — их строят по шагам

Смотри: мы хотим получить \((x\ \ ?)(x\ \ ?)\). Разберём, откуда что берётся, по частям уравнения.

Шаг 1. Первый член \(x^{2}\).

Откуда может взяться \(x^{2}\) при умножении двух скобок? Только из \(x\cdot x\). Значит в каждой скобке на первом месте стоит \(x\):

\[ (x\ \ ?)(x\ \ ?) \]

Шаг 2. Свободный член \(6\).

Числа в конце скобок перемножаются между собой и дают \(6\). Значит это какая-то пара: \(1\) и \(6\) или \(2\) и \(3\).

Шаг 3. Средний член \(-5x\).

Вот главное. При раскрытии скобок \(x\) из первой скобки умножается на число из второй, а \(x\) из второй — на число из первой. Эти два куска складываются и дают \(-5x\). То есть два числа в конце скобок должны в сумме давать \(5\), причём с минусом (поэтому в скобках стоят минусы).

Проверяем пары, дающие в произведении \(6\):

• \(1\) и \(6\): сумма \(7\) — не подходит;
• \(2\) и \(3\): сумма \(5\) — подходит!

Значит:

\[ (x-2)(x-3) \]

Проверка умножением — видно, что всё сходится:

\[ (x-2)(x-3)=x^{2}-3x-2x+6=x^{2}-5x+6 \]

Вот эти \(-3x\) и \(-2x\) вместе и дают нужный \(-5x\).

Общая схема, которую можно применять всегда

\[ (x-a)(x-b)=x^{2}-(a+b)x+ab \]

То есть: сумма чисел \(a\) и \(b\) = число перед \(x\) (с минусом), произведение \(a\cdot b\) = свободный член.

Попробуй сам

Разложи на скобки \(x^{2}-7x+12=0\). Действуй так же: нужны два числа с произведением \(12\) и суммой \(7\). Напиши, что получилось, — проверю.

Верно! 👍

\[ 3+4=7,\qquad 3\cdot 4=12 \]

Значит разложение такое:

\[ x^{2}-7x+12=(x-3)(x-4) \]

И корни уравнения \(x^{2}-7x+12=0\):

\[ x_1=3,\qquad x_2=4 \]

Проверка подстановкой:

\[ 3^{2}-7\cdot 3+12=9-21+12=0 \] \[ 4^{2}-7\cdot 4+12=16-28+12=0 \]

Оба раза ноль — решил правильно.

Что ты только что освоил

Ты сам прошёл весь путь: посмотрел на \(x^{2}\) (значит скобки вида \((x\ ?)(x\ ?)\)), нашёл пару чисел с произведением \(12\), проверил их сумму — и получил \(7\). Это и есть разложение на множители.

Ещё один шаг для закрепления, если хочешь: разложи \(x^{2}-9x+20\). Подсказка — ищи пару чисел с произведением \(20\) и суммой \(9\).