реши пожалуйста

Question

реши пожалуйста

Расшифровка фото нейросетью:
Обозначим за $ \omega $ — описанную окружность остроугольного треугольника $ABC$ с высотой $AN$. $O$ — центр $ \omega$, $D$ — отличная от $A$ точка пересечения $ \omega$ с прямой $AN$, $E$ — отличная от $B$ точка пересечения $ \omega$ с прямой $BO$.

Найдите отношение площади треугольника $BEC$ к площади треугольника $BCD$, если $AN/ND=3$. При необходимости ответ округлите до сотых.

Answer

Ответ: $2$. Округлять не нужно.

Как это получается

1. Пусть $AN=a$, $ND=b$. По условию
$$
a=3b.
$$
Треугольник остроугольный, поэтому точка $D$ лежит по другую сторону от $BC$, чем $A$.

2. Центр $O$ лежит на серединном перпендикуляре к хорде $AD$. Так как $AD\perp BC$, этот перпендикуляр параллелен $BC$. Поэтому расстояние от $O$ до $BC$ равно расстоянию от середины $AD$ до $BC$:
$$
h_O=\frac{a-b}{2}.
$$

3. Прямая $BO$ проходит через центр окружности, значит $BE$ — диаметр и $O$ — середина $BE$. Точка $B$ лежит на $BC$, поэтому расстояние от $E$ до $BC$ вдвое больше $h_O$:
$$
h_E=2h_O=a-b=3b-b=2b.
$$

4. У треугольников $BEC$ и $BCD$ общее основание $BC$, а их высоты равны $2b$ и $b$. Следовательно,
$$
\frac{[BEC]}{[BCD]}
=\frac{\frac12\cdot BC\cdot 2b}{\frac12\cdot BC\cdot b}
=\frac{2b}{b}=2.
$$

Проверка: при $b=1$, $a=3$ получаем $h_O=1$, $h_E=2$, $h_D=1$, то есть площади относятся как $2:1$.