Геометрия на 03.11 (Вт): Найти меньшую боковую сторону прямоугольной трапеции, основания которой равны 14см и 8 см, если один из углов 45 градусов.
Краткий ответ: \(6\) см.
Пусть в прямоугольной трапеции большее основание \(AD=14\) см, меньшее \(BC=8\) см, а \(AB\perp AD\). Наклонная боковая сторона — \(CD\), острый угол \(D=45^\circ\).
Опустим перпендикуляр \(CE\) из \(C\) на \(AD\). Тогда:
\[ ED=AD-BC=14-8=6\text{ см}. \]
В прямоугольном треугольнике \(CED\) угол \(D=45^\circ\), значит, он равнобедренный:
\[ CE=ED=6\text{ см}. \]
Но \(CE=AB\), поэтому перпендикулярная боковая сторона равна \(6\) см.
Наклонная сторона:
\[ CD=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt2\approx 8{,}49\text{ см}. \]
Сравниваем боковые стороны: \(6<6\sqrt2\). Значит, меньшая боковая сторона — \(6\) см.
\[ \boxed{6\text{ см}} \]
Обсуждение
2 сообщенияС чертежом
Вот чертёж к задаче. \(E\) — основание перпендикуляра из \(C\) на \(AD\).
B(0;6) ───────── C(8;6)
│ ┆ ╲
│ ┆ ╲
│ ┆ ╲
│ ┆ ╲
A(0;0) ───────── E(8;0) ─── D(14;0)
8 см 6 см
На чертеже:
- \(BC=8\) см, \(AD=14\) см;
- \(AB\perp AD\), \(CE\perp AD\);
- \(AB=CE=h\);
- \(ED=AD-BC=14-8=6\) см;
- \(\angle CDA=45^\circ\).
В прямоугольном треугольнике \(CED\):
\[ \angle D=45^\circ \quad \Rightarrow \quad CE=ED=6\text{ см}. \]
Значит,
\[ AB=CE=6\text{ см}. \]
Наклонная боковая сторона:
\[ CD=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt2\text{ см}\approx 8{,}49\text{ см}. \]
Сравниваем боковые стороны:
\[ 6<6\sqrt2. \]
Следовательно, меньшая боковая сторона — \(AB\).
\[ \boxed{6\text{ см}} \]
