Напишите сопряжение чисел 7+i; 2+3i; -3+4i; -7+5i; 7/2 - 3/2 i

Краткий ответ

Сопряжённые числа: \[ 7-i,\quad 2-3i,\quad -3-4i,\quad -7-5i,\quad \frac{7}{2}+\frac{3}{2}i. \]

Модули: \[ 5,\quad 4,\quad 10,\quad 3,\quad \sqrt{2},\quad 2. \]

Как устроены эти задания

1. Сопряжение. У числа \(a+bi\) меняется знак только у мнимой части: \[ \overline{a+bi}=a-bi. \] Геометрически это отражение точки относительно действительной оси.

2. Модуль — расстояние от точки \(z=a+bi\) до начала координат: \[ |a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}. \]

Подробные шаги

Сопряжения:

• \(7+i\): здесь \(a=7,\ b=1\), поэтому \(7-i\);
• \(2+3i\): получаем \(2-3i\);
• \(-3+4i\): получаем \(-3-4i\);
• \(-7+5i\): получаем \(-7-5i\);
• \(\frac{7}{2}-\frac{3}{2}i\): получаем \(\frac{7}{2}+\frac{3}{2}i\).

Модули: \[ |3-4i|=\sqrt{3^2+(-4)^2}=\sqrt{9+16}=5; \] \[ |4i|=\sqrt{0^2+4^2}=4; \] \[ |-8-6i|=\sqrt{(-8)^2+(-6)^2}=\sqrt{64+36}=10; \] \[ |\sqrt{5}+2i|=\sqrt{5+4}=3; \] \[ |-1+i|=\sqrt{(-1)^2+1^2}=\sqrt{2}; \] \[ |1-\sqrt{3}i|=\sqrt{1^2+3}=2. \]

Проверка

Для любого комплексного числа \(z\) выполняется: \[ z\cdot \overline{z}=|z|^2. \] Например: \[ (3-4i)(3+4i)=9+16=25, \] поэтому \(|3-4i|=5\).

Или: \[ (\sqrt{5}+2i)(\sqrt{5}-2i)=5+4=9, \] значит, \(|\sqrt{5}+2i|=3\).

Что осталось неясным

Слева внизу я вижу ещё два числа с номером 3: \(\frac{1}{3}+\frac{2}{5}i\) и \(\frac{3}{2}-\frac{3}{4}i\). Условия к ним на фото нет — не видно, что именно нужно делать. Напиши, что с ними нужно сделать, и я добавлю решение.