Напишите сопряжённое число: 1+i 2+3i -3+4i -7-5i -1/2-1/3i 1/3+2/5i
Реши
Сверь числа и знаки с фото.
Напишите сопряжённое число: \(1+i\) \(2+3i\) \(-3+4i\) \(-7-5i\) \(-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}i\) \(\frac{1}{3}+\frac{2}{5}i\)
Вычислите модуль: \(3-4i\) \(-8-6i\) \(-1+i\) \(1-i\) \(-3i\)
\(4i\) \(\sqrt{5}+2i\) \(1-\sqrt{3}i\) \(\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i\)
- Вычислите: \(|z_{1}z_{2}|\) \(|z_{1}||z_{2}|\) \(|z_{1}|\cdot(z_{2}+z_{3})\) если \(z_{1}=-1-i\) \(z_{2}=2+i\) \(z_{3}=1-i\)
Краткий ответ
1. Сопряжённые числа
| Число \(z\) | Сопряжённое \(\overline z\) |
|---|---|
| \(1+i\) | \(1-i\) |
| \(2+3i\) | \(2-3i\) |
| \(-3+4i\) | \(-3-4i\) |
| \(-7-5i\) | \(-7+5i\) |
| \(-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}i\) | \(-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}i\) |
| \(\frac{1}{3}+\frac{2}{5}i\) | \(\frac{1}{3}-\frac{2}{5}i\) |
2. Модули
| Число | Модуль |
|---|---|
| \(3-4i\) | \(5\) |
| \(-8-6i\) | \(10\) |
| \(-1+i\) | \(\sqrt{2}\) |
| \(1-i\) | \(\sqrt{2}\) |
| \(-3i\) | \(3\) |
| \(4i\) | \(4\) |
| \(\sqrt{5}+2i\) | \(3\) |
| \(1-\sqrt{3}i\) | \(2\) |
| \(\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i\) | \(\frac{\sqrt{10}}{2}\) |
3. При \(z_1=-1-i\), \(z_2=2+i\), \(z_3=1-i\):
\[ |z_1z_2|=\sqrt{10},\qquad |z_1||z_2|=\sqrt{10}, \] \[ |z_1|\cdot(z_2+z_3)=3\sqrt{2}. \]
Как это устроено
Сопряжённое число. У числа \(a+bi\) меняем знак только у мнимой части: \[ \overline{a+bi}=a-bi. \] Действительная часть остаётся прежней. Например, \[ -7-5i \longrightarrow -7+5i. \] Дроби при этом не переворачиваем — меняется только знак перед \(i\).
Модуль комплексного числа. \[ |a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}. \] Знаки после возведения в квадрат исчезают. Проверка: \[ |3-4i|=\sqrt{3^2+(-4)^2}=\sqrt{25}=5, \] \[ |\sqrt{5}+2i|=\sqrt{5+4}=3. \] Для последнего числа: \[ \left|\frac12-\frac32 i\right| =\sqrt{\left(\frac12\right)^2+\left(-\frac32\right)^2} =\sqrt{\frac14+\frac94} =\frac{\sqrt{10}}{2}. \]
Задание 3. \[ z_1z_2=(-1-i)(2+i)=-2-i-2i-i^2=-1-3i. \] Поэтому \[ |z_1z_2|=\sqrt{(-1)^2+(-3)^2}=\sqrt{10}. \] Отдельно: \[ |z_1|=\sqrt{2},\qquad |z_2|=\sqrt{5}, \] \[ |z_1||z_2|=\sqrt{2}\cdot\sqrt{5}=\sqrt{10}. \] Это и есть свойство модуля: \[ |z_1z_2|=|z_1||z_2|. \] Ещё: \[ z_2+z_3=(2+i)+(1-i)=3, \] поэтому \[ |z_1|\cdot(z_2+z_3)=\sqrt{2}\cdot 3=3\sqrt{2}. \]
