√1-x+√1+x=1
Краткий ответ: действительных решений нет.
Рассматриваем уравнение \[ \sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}=1. \]
Область допустимых значений: \[ 1-x\ge 0,\qquad 1+x\ge 0, \] то есть \[ -1\le x\le 1. \]
Пусть \[ a=\sqrt{1-x},\qquad b=\sqrt{1+x}. \] Тогда \(a\ge 0\), \(b\ge 0\), а также \[ a^2+b^2=(1-x)+(1+x)=2. \]
Если бы выполнялось \(a+b=1\), то после возведения в квадрат получили бы: \[ a^2+2ab+b^2=1. \] Подставляем \(a^2+b^2=2\): \[ 2+2ab=1, \] \[ 2ab=-1, \] \[ ab=-\frac12. \]
Но \(a\ge 0\) и \(b\ge 0\), поэтому \(ab\ge 0\). Противоречие: \(ab\) не может быть отрицательным.
Вывод: уравнение не имеет действительных корней. Это видно и из оценки: сумма двух неотрицательных корней не меньше \(\sqrt{2}\), а здесь она должна равняться \(1\).
Обсуждение
2 сообщениярешить линейно
Коротко: это уравнение не линейное, поэтому свести его к виду \(ax+b=0\) нельзя. Но решить его обычным способом можно — и корней нет.
\[ \sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}=1 \]
ОДЗ: \[ 1-x\ge 0,\qquad 1+x\ge 0 \quad\Rightarrow\quad -1\le x\le 1. \]
Обе части уравнения неотрицательны, поэтому возводим в квадрат:
\[ (\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x})^2=1^2 \]
\[ (1-x)+2\sqrt{(1-x)(1+x)}+(1+x)=1 \]
\[ 2+2\sqrt{1-x^2}=1 \]
\[ 2\sqrt{1-x^2}=-1 \]
Слева стоит неотрицательное число, а справа — отрицательное. Противоречие.
Ответ: действительных корней нет.
Если под словом «линейно» ты имел в виду какой-то конкретный способ — например, графический или через замену, — уточни, и я покажу именно его.
