առ 147
Сверь числа и знаки с фото.
- Գտե՛ք ուղղանկյուն եռանկյան արտագծած շրջանագծի շառավիղը, եթե դրա էջերից մեկը 6 դմ է, իսկ ներգծած շրջանագծի շառավիղը՝ 2 դմ։
Կարճ պատասխան՝ \(5\) դմ։
Լուծում.
Թող ուղղանկյուն եռանկյան էջերը լինեն \(a=6\) դմ և \(b\), իսկ ներքնաձիգը՝ \(c\)։
Ուղղանկյուն եռանկյան ներգծած շրջանագծի շառավղի բանաձևը՝ \[ r=\frac{a+b-c}{2}. \] Տեղադրում ենք \(r=2\), \(a=6\)՝ \[ 2=\frac{6+b-c}{2}. \] Այստեղից՝ \[ 6+b-c=4 \quad\Rightarrow\quad c=b+2. \]
Պյութագորասի թեորեմով՝ \[ c^2=a^2+b^2. \] Տեղադրում ենք \(c=b+2\), \(a=6\)՝ \[ (b+2)^2=36+b^2. \] Բացում ենք փակագիծը՝ \[ b^2+4b+4=36+b^2, \] \[ 4b=32, \] \[ b=8. \] Հետևաբար՝ \[ c=b+2=10. \]
Ուղղանկյուն եռանկյան արտագծած շրջանագծի կենտրոնը ներքնաձիգի միջնակետն է, ուստի՝ \[ R=\frac{c}{2}=\frac{10}{2}=5. \]
Պատասխան՝ \(5\) դմ։
Ստուգում՝ էջերը \(6\) և \(8\) են, ներքնաձիգը՝ \(10\)։ Ներգծած շառավիղը՝ \[ r=\frac{6+8-10}{2}=2, \] ինչը համընկնում է պայմանի հետ։
Обсуждение
4 сообщенияԱռ 148
Առաջադրանք 148-ի պայմանը ինձ մոտ չկա՝ ուղարկիր տեքստը կամ լուսանկարը, և ես կլուծեմ այն նույն սխեմայով, ինչ 147-ը։
Պնդումը ճիշտ է. ապացույցը հիմնվում է \(S=r\cdot s\) բանաձևի վրա, որտեղ \(s\)-ը կիսապարագիծն է, և այն փաստի, որ ուղղանկյուն եռանկյան համար \(s=c+r\)։
Ապացույց
Դիտարկենք \(ABC\) ուղղանկյուն եռանկյունը՝ \(C\) ուղիղ անկյամբ, \(a=BC\), \(b=CA\) էջերով և \(c=AB\) ներքնաձիգով։ Ներգծած շրջանագծի կենտրոնը նշանակենք \(O\), շառավիղը՝ \(r\)։
Շրջանագիծը շոշափում է երկու էջերին։ \(C\) գագաթը, երկու շոշափման կետերը և \(O\)-ն կազմում են \(r\) կողմով քառակուսի (ուղիղ անկյուն \(+\) երկու ուղիղ անկյուն շառավիղների հետ)։ Ուստի \(C\)-ից մինչև շոշափման կետերը հատվածները հավասար են \(r\)-ի։
Թող \(x\)-ը և \(y\)-ը լինեն համապատասխանաբար \(A\)-ից և \(B\)-ից տարված շոշափողների հատվածները։ Նույն գագաթից տարված շոշափողների հատվածները հավասար են, ուստի \[ x+y=c. \] Այդ դեպքում էջերը կազմված են այսպես՝ \[ a=r+y,\qquad b=r+x. \] Գումարենք՝ \[ a+b=2r+(x+y)=2r+c. \]
Կիսապարագիծը՝ \[ s=\frac{a+b+c}{2}=\frac{(2r+c)+c}{2}=c+r. \]
Եռանկյան մակերեսի բանաձևը ներգծած շառավղով՝ \[ S=r\cdot s \] (շրջանագծի կենտրոնը եռանկյունը տրոհում է երեք եռանկյունների՝ \(r\) բարձրությամբ և \(a,\ b,\ c\) հիմքերով)։
Տեղադրում ենք \(s=c+r\)՝ \[ S=r(c+r)=cr+r^{2}. \]
Պնդումն ապացուցված է։
Ստուգում 147-ի օրինակով. \(6\)-\(8\)-\(10\) եռանկյան դեպքում \(r=2\), \(c=10\), ուստի \[ S=r^{2}+cr=4+20=24, \] իսկ ուղղակի հաշվով՝ \(S=\frac{6\cdot 8}{2}=24\)։ Համընկնում է։
