Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ

\[ x_1 = 2,\qquad x_2 = 3 \]

Как решать: шаг за шагом

1. Находим коэффициенты. В уравнении \(x^2 - 5x + 6 = 0\): \[ a = 1,\quad b = -5,\quad c = 6 \]

2. Считаем дискриминант по формуле \(D = b^2 - 4ac\): \[ D = (-5)^2 - 4\cdot 1\cdot 6 = 25 - 24 = 1 \]

Так как \(D > 0\), корней два.

3. Подставляем в формулу корней \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\): \[ x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2} \] \[ x_1 = \frac{5-1}{2} = 2,\qquad x_2 = \frac{5+1}{2} = 3 \]

Второй способ — теорема Виета

Для приведённого уравнения \(x^2 + px + q = 0\) (где \(a = 1\)) сумма корней равна \(-p\), а произведение равно \(q\). У нас \(p = -5\), \(q = 6\): \[ x_1 + x_2 = 5,\qquad x_1 \cdot x_2 = 6 \]

Подбираем два числа с суммой 5 и произведением 6 — это 2 и 3. Способ быстрее, если корни целые, но дискриминант надёжнее: он работает всегда.

Проверка

\[ 2^2 - 5\cdot 2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0 \] \[ 3^2 - 5\cdot 3 + 6 = 9 - 15 + 6 = 0 \]

Оба корня обращают уравнение в верное равенство. Кстати, отсюда видно и разложение на множители: \(x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)\).

Принцип на будущее: при \(D > 0\) — два корня, при \(D = 0\) — один (двойной), при \(D < 0\) — корней нет.