140 а и б

Краткий ответ

140. а) \(\dfrac{x-5}{x+6}<0\;\Rightarrow\; x\in(-6;\,5)\), то есть \(-6<x<5\).

140. б) \(\dfrac{1{,}4-x}{x+3{,}8}<0\;\Rightarrow\; x\in(-\infty;\,-3{,}8)\cup(1{,}4;\,+\infty)\), то есть \(x<-3{,}8\) или \(x>1{,}4\).

В чём принцип (метод интервалов)

Дробь \(\dfrac{P(x)}{Q(x)}\) может поменять знак только там, где \(P(x)=0\) или \(Q(x)=0\). Поэтому:

1. Находим нули числителя и знаменателя.
2. Отмечаем их на числовой прямой. Нули знаменателя всегда выколоты (на них дробь не существует), нули числителя при строгом знаке \(<\) тоже выколоты, потому что там получается \(0\), а \(0<0\) неверно.
3. Берём пробную точку в каждом промежутке и смотрим знак дроби.
4. Выбираем промежутки с нужным знаком.

а) \(\dfrac{x-5}{x+6}<0\)

• Числитель: \(x-5=0\Rightarrow x=5\) (выколотая точка).
• Знаменатель: \(x+6=0\Rightarrow x=-6\) (выколотая точка).

На прямой две точки: \(-6\) и \(5\). Проверяем знаки:

• \(x=0\) (внутри \((-6;5)\)): \(\dfrac{0-5}{0+6}=-\dfrac56<0\) — подходит.
• \(x=10\) (правее \(5\)): \(\dfrac{10-5}{10+6}=\dfrac{5}{16}>0\) — не подходит.
• \(x=-10\) (левее \(-6\)): \(\dfrac{-10-5}{-10+6}=\dfrac{-15}{-4}>0\) — не подходит.

Значит, ответ: \(-6<x<5\).

б) \(\dfrac{1{,}4-x}{x+3{,}8}<0\)

Нули: \(x=1{,}4\) и \(x=-3{,}8\), обе точки выколоты.

Удобный приём: умножим обе части на \(-1\) — знак неравенства перевернётся, а в числителе станет привычный вид: \[ \frac{x-1{,}4}{x+3{,}8}>0 \]

Пробная точка \(x=0\) внутри \((-3{,}8;\,1{,}4)\): \(\dfrac{-1{,}4}{3{,}8}<0\) — не подходит. Значит, подходят внешние промежутки: \[ x\in(-\infty;\,-3{,}8)\cup(1{,}4;\,+\infty). \]

Проверка

• а) \(x=2\): \(\dfrac{2-5}{2+6}=-\dfrac38<0\) ✔; \(x=-7\): \(\dfrac{-12}{-1}=12>0\) ✘ (верно, точка не в ответе).
• б) \(x=2\): \(\dfrac{1{,}4-2}{5{,}8}<0\) ✔; \(x=-4\): \(\dfrac{5{,}4}{-0{,}2}=-27<0\) ✔; \(x=0\): \(\dfrac{1{,}4}{3{,}8}>0\) ✘ (верно, не в ответе).

На что смотреть в похожих заданиях: точки знаменателя никогда не входят в ответ; при знаке \(\le\) или \(\ge\) нули числителя становятся закрашенными, а нули знаменателя — всё равно выколотыми.