номер 2.247

Задание 2.302. Ответы:

Как решать: при умножении дробей сокращаем числители и знаменатели, а смешанные числа переводим в неправильные дроби.

Подробно:

а)
\[ \frac{14}{17}\cdot\frac{34}{63} =\frac{14\cdot2}{63} =\frac{28}{63} =\frac{4}{9} \]

б)
\[ \frac{35}{8}\cdot\frac{16}{7} =5\cdot2=10 \]

в)
\[ \frac{51}{103}\cdot\frac{103}{119} =\frac{51}{119} =\frac{3}{7} \]

г)
\[ \frac{4}{15}\cdot\frac{30}{49}\cdot\frac{7}{8} =\frac{4\cdot2\cdot1}{1\cdot7\cdot8} =\frac{8}{56} =\frac{1}{7} \]

д)
\[ 24\cdot\frac{11}{48} =\frac{11}{2} =5\frac{1}{2} \]

е)
\[ 6\cdot3\frac{5}{6} =6\cdot\frac{23}{6} =23 \]

ж)
\[ 3\frac{5}{14}\cdot7 =\frac{47}{14}\cdot7 =\frac{47}{2} =23\frac{1}{2} \]

з)
\[ 5\frac{4}{45}\cdot9\cdot15 =\frac{229}{45}\cdot135 =229\cdot3 =687 \]

Проверил обратным счётом — ответы сходятся.

В д) умножаем целое число на дробь:

\[ 24\cdot\frac{11}{48}=\frac{24\cdot 11}{48} \]

Число \(24\) записываем как дробь \(\frac{24}{1}\), поэтому \(24\) попадает в числитель. Теперь сокращаем \(24\) и \(48\) на \(24\):

\[ \frac{24\cdot 11}{48} =\frac{1\cdot 11}{2} =\frac{11}{2} =5\frac{1}{2} \]

Коротко:

\[ 24\cdot\frac{11}{48} =\frac{11}{2} =5\frac{1}{2} \]

То есть \(24\) и \(48\) сократились: \(48:24=2\), а \(24:24=1\).

Разберу д) ещё раз, совсем по шагам.

Пример д): \[ 24\cdot\frac{11}{48} \]

Шаг 1. Целое число превращаем в дробь. Любое целое число — это оно же, делённое на \(1\): \[ 24=\frac{24}{1} \]

Шаг 2. Умножаем дробь на дробь. Числитель на числитель, знаменатель на знаменатель: \[ \frac{24}{1}\cdot\frac{11}{48}=\frac{24\cdot 11}{1\cdot 48}=\frac{264}{48} \]

Шаг 3. Сокращаем. У \(264\) и \(48\) общий делитель \(24\): \[ \frac{264}{48}=\frac{11}{2}=5\frac{1}{2} \]

Тот же счёт, но короче — сократить заранее. Пока произведение ещё не посчитано, видно, что \(24\) и \(48\) делятся на \(24\): \[ \frac{24\cdot 11}{48} =\frac{\not{24}^{\,1}\cdot 11}{\not{48}^{\,2}} =\frac{11}{2}=5\frac{1}{2} \]

Смысл действия. Умножить на \(\frac{11}{48}\) — значит взять от числа \(24\) сначала \(\frac{1}{48}\), потом \(11\) таких частей: \[ 24:48=\frac{1}{2},\qquad \frac{1}{2}\cdot 11=5\frac{1}{2} \] Один и тот же результат, просто другим путём.

Проверка: \[ 5\frac{1}{2}\cdot 48=\frac{11}{2}\cdot 48=11\cdot 24=264 \] а \(264:11=24\) — значит, \(24\cdot\frac{11}{48}=5\frac{1}{2}\) верно.

Если ты имеешь в виду другой пример из д) — напиши его условие, разберу именно его.

Пример е): \[ 6\cdot 3\frac{5}{6} \]

Шаг 1. Смешанное число переводим в неправильную дробь. Целую часть умножаем на знаменатель и прибавляем числитель: \[ 3\frac{5}{6}=\frac{3\cdot 6+5}{6}=\frac{18+5}{6}=\frac{23}{6} \] Знаменатель остаётся прежним — \(6\).

Шаг 2. Умножаем на целое число. Целое число записываем как дробь со знаменателем \(1\): \[ 6\cdot\frac{23}{6}=\frac{6}{1}\cdot\frac{23}{6}=\frac{6\cdot 23}{1\cdot 6} \]

Шаг 3. Сокращаем. Шестёрки в числителе и знаменателе сокращаются: \[ \frac{6\cdot 23}{6}=23 \]

Коротко: \[ 6\cdot 3\frac{5}{6}=6\cdot\frac{23}{6}=23 \]

Почему так получается по смыслу. В \(3\frac{5}{6}\) всего \(23\) шестых доли. А множитель \(6\) как раз «собирает» по \(6\) таких долей в целое: \[ 23\text{ шестых}\cdot 6=23\text{ целых} \] То есть \(6\cdot\frac{1}{6}=1\), и таких единиц получается \(23\).

Проверка: \[ 23:6=3\text{ (ост. }5)=3\frac{5}{6} \] Всё верно: ответ \(23\).

Пример з): \[ 5\frac{4}{45}\cdot 9\cdot 15 \]

Шаг 1. Смешанное число переводим в неправильную дробь: \[ 5\frac{4}{45}=\frac{5\cdot45+4}{45}=\frac{225+4}{45}=\frac{229}{45} \]

Шаг 2. Записываем всё одним произведением: \[ \frac{229}{45}\cdot 9\cdot 15 \]

Шаг 3. Сокращаем. Удобно заметить, что \(9\cdot15=135\), а \(135:45=3\): \[ \frac{229\cdot9\cdot15}{45} =\frac{229\cdot135}{45} =229\cdot3 \]

Шаг 4. Считаем: \[ 229\cdot3=687 \]

Ответ: \[ 5\frac{4}{45}\cdot9\cdot15=687 \]

Можно и по частям: \[ \frac{229}{45}\cdot9=\frac{229}{5}, \qquad \frac{229}{5}\cdot15=229\cdot3=687. \]

Проверка: \(687:15=45{,}8\), а \(45{,}8:9=5\frac{4}{45}\). Значит, ответ верный.

Пример з): \[ 5\frac{4}{45}\cdot 9\cdot 15 \]

Шаг 1. Смешанное число переводим в неправильную дробь: \[ 5\frac{4}{45}=\frac{5\cdot45+4}{45}=\frac{225+4}{45}=\frac{229}{45} \]

Шаг 2. Записываем пример целиком: \[ \frac{229}{45}\cdot 9\cdot 15 \]

Шаг 3. Сокращаем. Удобно сначала умножить \(9\) и \(15\): \[ 9\cdot15=135 \] Тогда: \[ \frac{229}{45}\cdot135 \] Так как \(135:45=3\), получаем: \[ 229\cdot3=687 \]

Короткая запись: \[ 5\frac{4}{45}\cdot9\cdot15 =\frac{229}{45}\cdot9\cdot15 =229\cdot\frac{9\cdot15}{45} =229\cdot\frac{135}{45} =229\cdot3 =687 \]

Ответ: \(687\).

Смысл сокращения: \(45\) в знаменателе и \(135\) «собираются» в \(3\), поэтому не нужно перемножать большие числа в столбик.