алгебра 10 класс Мордкович упражнение 10.3 реши так будто я решала сама

На фото видно задание № 10.8 (в твоём издании оно, судя по всему, идёт под другим номером — беру то, что на странице). Ниже — готовое оформление решения.

№ 10.8. Найдите функцию, обратную данной. Постройте графики взаимно обратных функций

Алгоритм: из формулы \(y=f(x)\) выразить \(x\) через \(y\), затем поменять буквы \(x\) и \(y\). Все четыре функции линейные (\(k\neq 0\)), значит, каждая монотонна на \(\mathbb{R}\) и обратная существует.

а) \(y=3x\). \[ x=\frac{y}{3}\ \Rightarrow\ y=\frac{x}{3} \] Обратная: \(y=\dfrac{x}{3}\), \(D=\mathbb{R}\), \(E=\mathbb{R}\).

б) \(y=5x+2\). \[ 5x=y-2,\quad x=\frac{y-2}{5}\ \Rightarrow\ y=\frac{x-2}{5}=\frac{x}{5}-\frac{2}{5} \]

в) \(y=x-7\). \[ x=y+7\ \Rightarrow\ y=x+7 \]

г) \(y=\dfrac{x}{3}-4\). \[ \frac{x}{3}=y+4,\quad x=3(y+4)\ \Rightarrow\ y=3x+12 \]

Проверка (подставляем обратную в исходную):

• а) \(3\cdot\frac{x}{3}=x\);
• б) \(5\cdot\frac{x-2}{5}+2=x\);
• в) \((x+7)-7=x\);
• г) \(\frac{3x+12}{3}-4=(x+4)-4=x\).

Чертежи (одна система координат на каждый пункт)

Сначала проводим штриховой линией прямую \(y=x\) — она ось симметрии: графики взаимно обратных функций симметричны относительно неё.

Ответ: а) \(y=\frac{x}{3}\); б) \(y=\frac{x-2}{5}\); в) \(y=x+7\); г) \(y=3x+12\); графики каждой пары симметричны относительно прямой \(y=x\).

Если у тебя под номером 10.3 имелось в виду задание 10.9 (дробно-рациональные функции) — скажи, разберу и его.

Вижу, что речь о задании 10.9, но саму формулу пункта а я не могу прочитать — в переписке она не сохранилась. Напиши её текстом (например, \(y=\frac{1}{x-2}\)), и я сразу оформлю решение: выраже́ние \(x\) через \(y\), обратная функция, область определения, эскизы графиков и проверку — как твою собственную аккуратную запись.

Пункт 10.9(а) по одному номеру восстановить не могу — нужна сама формула. Пришли её строкой (например, \(y=\dfrac{2}{x+1}\)) или чёткое фото условия, и я сразу оформлю решение: выражу \(x\) через \(y\), найду обратную функцию, укажу область определения и построю эскизы графиков.

Понимаю запись как \(y=\dfrac{3}{x-1}\) (если в учебнике дробь выглядит иначе — ниже есть второй вариант).

№ 10.9 (а). Найдите функцию, обратную данной

\[ y=\frac{3}{x-1} \]

1. Область определения и область значений исходной функции: \(x\neq 1\), \(y\neq 0\) — функция монотонна на каждом промежутке, значит, обратная существует.

2. Выражаю \(x\) через \(y\): \[ y=\frac{3}{x-1}\ \Rightarrow\ x-1=\frac{3}{y}\ \Rightarrow\ x=1+\frac{3}{y}=\frac{y+3}{y} \]

3. Меняю буквы \(x\) и \(y\): \[ y=\frac{x+3}{x}=1+\frac{3}{x},\qquad x\neq 0 \]

4. Проверка: \[ \frac{3}{\frac{x+3}{x}-1}=\frac{3}{\frac{3}{x}}=x \] верно при \(x\neq 0\).

5. Графики. Обе кривые — гиперболы, симметричные относительно прямой \(y=x\) (её провожу штриховой линией).

Точки второй таблицы — это «перевёрнутые» точки первой: \((2;3)\to(3;2)\) и т. д., что и подтверждает симметрию.

Ответ: \(y=\dfrac{x+3}{x}\), \(D(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)\), \(E(y)=(-\infty;1)\cup(1;+\infty)\).

Если в учебнике записано \(y=\dfrac{3}{x}-1\), то решение короче: \[ y+1=\frac{3}{x}\ \Rightarrow\ x=\frac{3}{y+1}\ \Rightarrow\ y=\frac{3}{x+1}. \] Асимптоты исходной: \(x=0\), \(y=-1\); обратной: \(x=-1\), \(y=0\). Проверка: \(\frac{3}{\frac{3}{x+1}}-1=(x+1)-1=x.\) Сверь с учебником, какой именно вид дроби, и оставь нужный вариант.

Картинку прикрепить не могу, но дам всё, чтобы ты точно и быстро начертила график сама — по точкам и асимптотам.

График \(y=\dfrac{3}{x-1}\)

Это гипербола с асимптотами \(x=1\) и \(y=0\). Две ветви, обе убывают.

Точки для построения:

• Ветвь при \(x>1\): проходит через \((2;3)\), \((4;1)\), уходит вверх к \(x=1\) и вправо вниз к \(y=0\).
• Ветвь при \(x<1\): проходит через \((0;-3)\), \((-2;-1)\), уходит вниз к \(x=1\) и влево вверх к \(y=0\).

График обратной \(y=\dfrac{x+3}{x}=1+\dfrac{3}{x}\)

Асимптоты \(x=0\) и \(y=1\).

• Ветвь \(x>0\): через \((1;4)\), \((3;2)\), выше прямой \(y=1\), убывает.
• Ветвь \(x<0\): через \((-1;-2)\), \((-3;0)\), ниже прямой \(y=1\), убывает.

Связь графиков: они симметричны относительно прямой \(y=x\). Поэтому точки второй таблицы — это точки первой с переставленными координатами: \((2;3)\leftrightarrow(3;2)\), \((4;1)\leftrightarrow(1;4)\), \((0;-3)\leftrightarrow(-3;0)\). На чертеже проведи \(y=x\) штриховой линией — по ней удобно проверять симметрию.

Если в учебнике было \(y=\dfrac{3}{x}-1\), то там асимптоты \(x=0\), \(y=-1\), а у обратной \(y=\dfrac{3}{x+1}\) — асимптоты \(x=-1\), \(y=0\). Скажи, какой вариант у тебя, и я дам точки именно для него.