1,2
Сверь числа и знаки с фото.
УПРАЖНЕНИЕ 9
С каким ускорением разгоняется автомобиль, если он за 5 с увеличивает свою скорость от 5 до 20 \(\frac{м}{с}\)?
Разгоняясь из состояния покоя, велосипедист за 11 с развил скорость 22 \(\frac{м}{с}\). Определите ускорение велосипедиста. Постройте график зависимости ускорения от времени \(a(t)\), считая движение равноускоренным.
Краткий ответ
№1: \(a = 3\ \text{м/с}^2\) №2: \(a = 2\ \text{м/с}^2\); график \(a(t)\) — горизонтальная прямая на высоте \(2\ \text{м/с}^2\) (ускорение от времени не зависит).
Главная идея
Ускорение — это «скорость изменения скорости»: оно показывает, на сколько метров в секунду меняется скорость за каждую секунду движения.
\[ a = \frac{v - v_0}{t} \]
где \(v_0\) — начальная скорость, \(v\) — конечная скорость, \(t\) — время разгона.
Единица измерения: \(\dfrac{\text{м/с}}{\text{с}} = \text{м/с}^2\) — метры в секунду за секунду.
Задача 1
Дано: \(v_0 = 5\ \text{м/с}\), \(v = 20\ \text{м/с}\), \(t = 5\ \text{с}\).
\[ a = \frac{20 - 5}{5} = \frac{15}{5} = 3\ \text{м/с}^2 \]
Смысл результата: каждую секунду скорость автомобиля прибавляла по \(3\ \text{м/с}\): было 5, стало 8, 11, 14, 17, через 5 с — 20 м/с.
Задача 2
Дано: «из состояния покоя» означает \(v_0 = 0\), \(v = 22\ \text{м/с}\), \(t = 11\ \text{с}\).
\[ a = \frac{22 - 0}{11} = 2\ \text{м/с}^2 \]
График \(a(t)\). При равноускоренном движении ускорение постоянно, поэтому график — не наклонная линия, а отрезок горизонтальной прямой:
- по горизонтальной оси откладываем время \(t\), с (0 … 11 с);
- по вертикальной оси — ускорение \(a\), м/с²;
- на высоте \(2\ \text{м/с}^2\) проводим прямую, параллельную оси времени, от \(t = 0\) до \(t = 11\ \text{с}\).
\[ a(t) = 2\ \text{м/с}^2 = \text{const} \]
Проверка
Обратная формула \(v = v_0 + a t\):
- №1: \(5 + 3 \cdot 5 = 20\ \text{м/с}\) ✓
- №2: \(0 + 2 \cdot 11 = 22\ \text{м/с}\) ✓
Как решать похожие задания
- Выпиши \(v_0\), \(v\), \(t\) (если сказано «из состояния покоя» или «начал двигаться» — сразу \(v_0 = 0\)).
- Подставь в \(a = \dfrac{v - v_0}{t}\); при торможении \(v < v_0\), и ускорение получится отрицательным.
- Если просят график ускорения — это всегда горизонтальная прямая, потому что \(a\) при равноускоренном движении не меняется.
Обсуждение
14 сообщенийЧто значит at
Это два разных обозначения, и оба — про умножение и функцию, а не про слово «at».
1. \(at\) в формуле \(v = v_0 + at\)
Это произведение ускорения на время:
\[ at = a \cdot t \]
То есть «на сколько выросла скорость за всё время \(t\)». Например, в задаче 2: \(a = 2\ \text{м/с}^2\), \(t = 11\ \text{с}\), значит
\[ at = 2 \cdot 11 = 22\ \text{м/с} \]
И получается \(v = 0 + 22 = 22\ \text{м/с}\).
Проверка единиц: \(\text{м/с}^2 \cdot \text{с} = \text{м/с}\) — как раз скорость. Поэтому знак умножения между буквами в физике обычно не пишут.
2. \(a(t)\) в записи «график \(a(t)\)»
Здесь \(t\) в скобках — не множитель, а аргумент функции. Читается «а от тэ»: ускорение как функция времени, то есть значение ускорения в момент \(t\). У нас \(a(t) = 2\ \text{м/с}^2\) при любом \(t\) — поэтому прямая горизонтальная.
Коротко: \(at\) — умножение (\(a\) умножить на \(t\)), \(a(t)\) — зависимость (\(a\) в момент времени \(t\)).
Что значит c2
Краткий ответ
\(\text{с}^2\) читается «секунда в квадрате» и означает, что секунда в этой единице стоит в знаменателе дважды. Так что
\[ \text{м/с}^2 = \frac{\text{м}}{\text{с}\cdot\text{с}} \]
Это единица ускорения: метр на секунду за секунду.
Откуда берётся квадрат
Ускорение — это изменение скорости, делённое на время. Скорость измеряется в \(\text{м/с}\), время — в \(\text{с}\):
\[ a = \frac{v - v_0}{t} \;\Rightarrow\; \text{единица} = \frac{\text{м/с}}{\text{с}} \]
Делить на секунду — то же, что ещё раз умножить знаменатель на секунду:
\[ \frac{\text{м/с}}{\text{с}} = \frac{\text{м}}{\text{с}\cdot\text{с}} = \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = \text{м/с}^2 \]
Как это понимать по смыслу
Запись \(3\ \text{м/с}^2\) расшифровывается так: скорость растёт на 3 м/с за каждую секунду. Смотри задачу 1 из нашего разбора:
| Время, с | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Скорость, м/с | 5 | 8 | 11 | 14 | 17 | 20 |
Каждую секунду прибавляется ровно 3 м/с — вот эти «3 м/с за секунду» и записывают коротко как \(3\ \text{м/с}^2\).
Что важно не путать
- \(\text{с}^2\) — это не «время в квадрате» и не площадь. Это просто два раза «с» в знаменателе, удобная короткая запись.
- Квадрат появляется только потому, что время входит в формулу дважды: один раз внутри скорости (\(v\) — это м/с) и один раз в делении на \(t\).
А почему в 1 задаче c2?
Коротко
В условии задачи 1 действительно нигде не написано «с²» — там только м/с и секунды. Квадрат появляется сам, в момент деления на время: секунда попадает в знаменатель второй раз. Единицу не выписывают из условия, её считают по формуле — отдельно от числа.
Разбор по шагам
Считаем число и единицы параллельно, отдельно друг от друга:
\[ a = \frac{20\ \text{м/с} - 5\ \text{м/с}}{5\ \text{с}} = \frac{15\ \text{м/с}}{5\ \text{с}} \]
Числа: \(15 : 5 = 3\).
Единицы:
\[ \frac{\text{м/с}}{\text{с}} = \frac{\text{м}}{\text{с}\cdot\text{с}} = \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \]
Собираем вместе:
\[ a = 3\ \text{м/с}^2 \]
Почему без «с²» ответ был бы неполным
Записать просто «3» нельзя: непонятно, 3 чего. А записать «3 м/с» — тоже неверно, это была бы скорость, а не ускорение. Именно \(\text{м/с}^2\) показывает, что это прирост скорости за каждую секунду.
Ту же мысль можно записать словами без квадрата: «3 метра в секунду за секунду». Учёные сократили это до \(\text{м/с}^2\) — короче и видно, из чего единица собрана. Иногда пишут \(\text{м}\cdot\text{с}^{-2}\) — это то же самое.
Проверка
Умножим ускорение обратно на время и посмотрим, получится ли прирост скорости:
\[ 3\ \text{м/с}^2 \cdot 5\ \text{с} = 15\ \text{м/с}, \qquad 5 + 15 = 20\ \text{м/с} \]
Сходится с условием — значит, единица подставлена правильно.
В задаче 2 происходит ровно то же самое: \(22\ \text{м/с} : 11\ \text{с} = 2\ \text{м/с}^2\). «С²» в условии и там не было — оно каждый раз возникает из деления на секунды.
Я не понимаю что значит at
Самое простое объяснение
\(at\) — это просто умножение: ускорение умножить на время.
\[ at = a \cdot t \]
В физике знак умножения между буквами обычно не пишут: вместо \(a \cdot t\) пишут \(at\). Это одна и та же запись, как \(2 \cdot 3 = 2\cdot3\), только с буквами.
Что это даёт по смыслу
\(a\) — сколько метров в секунду прибавляется за одну секунду. \(t\) — сколько секунд прошло.
Умножили одно на другое — узнали, сколько метров в секунду прибавилось за всё время.
Сравни с деньгами: за час работы платят 200 рублей, работал 3 часа → \(200 \cdot 3 = 600\) рублей. Здесь то же самое: за секунду прибавляется 3 м/с, прошло 5 секунд → \(3 \cdot 5 = 15\) м/с прибавилось.
На числах из задачи 1
Дано: \(a = 3\ \text{м/с}^2\), \(t = 5\ \text{с}\).
\[ at = 3 \cdot 5 = 15\ \text{м/с} \]
Это и есть прирост скорости: было 5 м/с, прибавилось 15 м/с, стало 20 м/с — как в условии.
Проверка единиц: \(\text{м/с}^2 \cdot \text{с}\) — одна «с» сокращается, остаётся \(\text{м/с}\). То есть после умножения на время мы получаем скорость — всё логично, прирост скорости измеряется в м/с.
Зачем это в формуле
Формула скорости при равноускоренном движении:
\[ v = v_0 + at \]
Читается по-человечески: конечная скорость = начальная скорость + прирост скорости, где прирост — это \(at\).
- \(v_0\) — с чего начали,
- \(at\) — сколько добавилось,
- \(v\) — что получилось в итоге.
Для задачи 2: \(v_0 = 0\), \(a = 2\), \(t = 11\) → \(at = 2 \cdot 11 = 22\), значит \(v = 0 + 22 = 22\ \text{м/с}\). Сходится с условием.
Не путай две похожие записи
| Запись | Что это | Пример |
|---|---|---|
| \(at\) | умножение: \(a \cdot t\) | \(3 \cdot 5 = 15\) |
| \(a(t)\) | функция: ускорение в момент \(t\) | \(a(t) = 3\) при любом \(t\) |
Скобки меняют смысл: \(a(t)\) — это не умножение, а «а от тэ».
А если бы было не равноускоренным
Короткий ответ
Тогда \(v = v_0 + at\) перестаёт работать «в лоб»: \(a\) меняется, и умножать на время одну и ту же цифру нельзя. Но сама формула ускорения \(a = \dfrac{v - v_0}{t}\) не исчезает — она просто начинает давать среднее ускорение за промежуток.
Что меняется
1. Ускорение становится разным в разные моменты. Приходится различать:
- среднее ускорение за промежуток: \(a_{\text{ср}} = \dfrac{v - v_0}{t}\) — как будто всё изменение «размазали» ровно по времени;
- мгновенное ускорение \(a(t)\) — то, что показывает спидометр ускорения прямо сейчас. Это наклон касательной к графику \(v(t)\).
2. График \(a(t)\) — уже не горизонтальная прямая. Он может быть любой линией: расти, падать, скакать. А график \(v(t)\) перестаёт быть прямой — становится кривой, и наклон у него всё время разный.
3. Прирост скорости — это площадь под графиком \(a(t)\). При постоянном \(a\) это площадь прямоугольника «\(a \cdot t\)» — вот откуда бралось \(at\). Если \(a\) меняется, прямоугольник заменить нельзя, зато площадь под кривой по-прежнему даёт \(\Delta v\).
Пример на числах
Автомобиль разгоняется, и каждую секунду скорость растёт по-разному:
| \(t\), с | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(v\), м/с | 0 | 4 | 10 | 18 | 28 |
| прирост за секунду | — | 4 | 6 | 8 | 10 |
Ускорение всё время разное: 4, 6, 8, 10 м/с². Одного числа «\(a\)» для всего разгона нет — есть \(a(t)\).
Среднее ускорение за все 4 с:
\[ a_{\text{ср}} = \frac{28 - 0}{4} = 7\ \text{м/с}^2 \]
Это не ускорение в какой-то момент — это «в среднем по больнице». В конце разгона машина разгонялась уже с 10 м/с², а не с 7.
Что ещё перестаёт быть верным
- \(v = v_0 + at\) — только для постоянного \(a\);
- \(s = v_0 t + \dfrac{at^2}{2}\) — тоже только для постоянного \(a\);
- средняя скорость \(\dfrac{v_0 + v}{2}\) — верна лишь при равномерном изменении скорости.
А вот \(a = \dfrac{\Delta v}{\Delta t}\) (для среднего) и «изменение скорости = площадь под \(a(t)\)» остаются всегда — это общие определения, а не удобные частные формулы.
Как решать, если попадётся
- Проверь по условию или графику, постоянно ли \(a\). Если да — работают готовые формулы.
- Если нет — считай ускорение по участкам: между соседними точками \(a = \dfrac{v_2 - v_1}{t_2 - t_1}\), и подписывай, что это среднее на участке.
- Путь ищи как площадь под графиком \(v(t)\), а не через \(at^2/2\).
Хочешь, разберём такой пример целиком — с графиком \(v(t)\) и вычислением пути по площади?
Не понимаю , можно покороче
Совсем коротко
Если ускорение не постоянно, то:
- одной цифры \(a\) на всё движение нет — ускорение своё в каждый момент, \(a(t)\);
- формула \(v = v_0 + at\) не работает — нельзя умножать на время «разное» ускорение;
- зато работает среднее ускорение за промежуток:
\[ a_{\text{ср}} = \frac{v - v_0}{t} \]
На примере
Скорость: 0 → 4 → 10 → 18 м/с за 3 секунды.
Приросты разные: 4, 6, 8 м/с за секунду. Значит ускорение менялось: 4, 6, 8 м/с².
Среднее за всё время:
\[ a_{\text{ср}} = \frac{18 - 0}{3} = 6\ \text{м/с}^2 \]
Это «в среднем», а не «в любой момент».
Вывод: при постоянном \(a\) — считаем по \(at\). При переменном — либо по участкам, либо через среднее.
Как записать ответ в задаче 2
Как оформить в тетради
Дано: \[ v_0 = 0\ \text{м/с}, \quad v = 22\ \text{м/с}, \quad t = 11\ \text{с} \] Найти: \(a\) — ?
Решение: \[ a = \frac{v - v_0}{t} = \frac{22 - 0}{11} = 2\ \text{м/с}^2 \]
Ответ: \(a = 2\ \text{м/с}^2\); график \(a(t)\) — горизонтальная прямая на высоте \(2\) (от \(t = 0\) до \(t = 11\) с).
Что именно писать в строке «Ответ»
Достаточно одной строки:
Ответ: \(a = 2\ \text{м/с}^2\).
Если в задании просят график — добавь вторую часть:
Ответ: \(a = 2\ \text{м/с}^2\), ускорение постоянно, поэтому график \(a(t)\) — прямая, параллельная оси времени, на уровне \(2\ \text{м/с}^2\).
Как рисовать график
- Оси: горизонтальная — \(t\), с (0 до 11); вертикальная — \(a\), м/с².
- Отметь на вертикальной оси \(2\) и проведи горизонтальный отрезок от \(t = 0\) до \(t = 11\).
- Подпиши у оси: «\(a\), м/с²», у оси времени: «\(t\), с».
Частые потери баллов
- забыть \(\text{м/с}^2\) и написать просто «2»;
- нарисовать наклонную прямую вместо горизонтальной (наклонная — это график скорости, а не ускорения);
- не указать, что \(v_0 = 0\) («из состояния покоя»).
