Решите уравнение (x−5)/(3x+4) = (x−5)/(2x+1). Если уравнение имеет два корня, то в ответ запишите больший из корней.

Краткий ответ: \(5\).

Уравнение: \[ \frac{x-5}{3x+4}=\frac{x-5}{2x+1} \]

Сначала учтём, что знаменатели не равны нулю: \[ 3x+4\ne0,\qquad 2x+1\ne0, \] то есть \[ x\ne -\frac43,\qquad x\ne -\frac12. \]

Теперь перенесём всё в одну сторону и вынесем общий множитель: \[ \frac{x-5}{3x+4}-\frac{x-5}{2x+1}=0 \] \[ (x-5)\left(\frac1{3x+4}-\frac1{2x+1}\right)=0. \]

Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю.

1. \(x-5=0\), значит \[ x=5. \]

2. Вторая скобка: \[ \frac1{3x+4}=\frac1{2x+1}. \] Отсюда \[ 3x+4=2x+1, \] \[ x=-3. \]

Оба корня \(5\) и \(-3\) подходят по ОДЗ. Больший из них — \(5\).

Проверка: при \(x=5\) обе дроби равны нулю, знаменатели не нулевые. При \(x=-3\) обе дроби равны \(\frac85\).

Главное правило: нельзя просто сокращать обе части на \(x-5\), потому что \(x-5\) может быть равно нулю — так можно потерять корень.