иштеп бериңиз
Сверь числа и знаки с фото.
\[\begin{cases}xy - y = 24\\x - 3y = -5\end{cases}\]
Жообу: \((x;y)=(7;4)\) жана \((-11;-2)\).
Бул системаны алмаштыруу ыкмасы менен чыгарабыз: \[ \begin{cases} xy-y=24,\\ x-3y=-5. \end{cases} \]
Экинчи теңдемеден \(x\) ти туюнтабыз — анда \(x\) биринчи даражада турганы үчүн ыңгайлуу: \[ x=3y-5. \]
Аны биринчи теңдемеге коёбуз: \[ (3y-5)y-y=24. \]
Кашааны ачып, окшош мүчөлөрдү келтиребиз: \[ 3y^{2}-5y-y=24 \quad\Rightarrow\quad 3y^{2}-6y-24=0. \]
Баарын 3кө бөлөбүз: \[ y^{2}-2y-8=0. \]
Көбөйтүүчүлөргө ажыратабыз: \[ (y-4)(y+2)=0, \] андыктан \(y_{1}=4\), \(y_{2}=-2\).
Ар бир \(y\) үчүн \(x\) ти табабыз: \[ y=4:\quad x=3\cdot4-5=7; \] \[ y=-2:\quad x=3\cdot(-2)-5=-11. \]
Демек, системанын эки чечими бар: \((7;4)\) жана \((-11;-2)\).
Текшерүү: \[ 7\cdot4-4=28-4=24,\qquad 7-3\cdot4=7-12=-5; \] \[ (-11)(-2)-(-2)=22+2=24,\qquad -11-3(-2)=-11+6=-5. \] Эки чечим тең туура.
Принцип: алмаштыруу ыкмасы эки белгисиздүү системаны бир белгисиздүү теңдемеге айландырат. Бир теңдемеден бир өзгөрмөнү экинчиси аркылуу туюнтуп, аны экинчи теңдемеге коёбуз. Квадрат теңдеме чыкса, анын эки тамыры болушу мүмкүн — ошондуктан ар бир тамыр үчүн экинчи өзгөрмөнү өзүнчө эсептейбиз. Кайсы өзгөрмөнү туюнтуу ыңгайлуу? — биринчи даражада турганын тандоо эсепти жеңилдетет.
Обсуждение
4 сообщенияОрдуна коюп иштеп бериңиз
Ооба, алмаштыруу ыкмасы менен толук иштейин — бул жолу экинчи теңдемеден \(y\) ни туюнтабыз.
\[ \begin{cases} xy-y=24,\\ x-3y=-5. \end{cases} \]
1-кадам. \(y\) ни \(x\) аркылуу туюнтуу. Экинчи теңдемеден: \[ x-3y=-5 \quad\Rightarrow\quad 3y=x+5 \quad\Rightarrow\quad y=\frac{x+5}{3}. \]
2-кадам. Биринчи теңдемеге ордуна коюу. \(y\) нин ордуна \(\frac{x+5}{3}\) жазабыз: \[ x\cdot\frac{x+5}{3}-\frac{x+5}{3}=24. \]
3-кадам. Жалпы бөлүүчүнү табып, жөнөкөйлөтүү. Сол жагында \(\frac{x+5}{3}\) жалпы көбөйтүүчү бар: \[ \frac{(x+5)(x-1)}{3}=24. \]
Эки жагын 3кө көбөйтөбүз: \[ (x+5)(x-1)=72. \]
4-кадам. Кашааны ачып, квадрат теңдеме алуу: \[ x^{2}+4x-5=72 \quad\Rightarrow\quad x^{2}+4x-77=0. \]
5-кадам. Дискриминант аркылуу чыгаруу: \[ D=4^{2}-4\cdot1\cdot(-77)=16+308=324,\qquad \sqrt{D}=18. \] \[ x_{1}=\frac{-4+18}{2}=7,\qquad x_{2}=\frac{-4-18}{2}=-11. \]
6-кадам. Ар бир \(x\) үчүн \(y\) ни табуу: \[ x=7:\quad y=\frac{7+5}{3}=\frac{12}{3}=4; \] \[ x=-11:\quad y=\frac{-11+5}{3}=\frac{-6}{3}=-2. \]
Жооп: \((7;4)\) жана \((-11;-2)\) — мурунку жооп менен дал келет.
Текшерүү: \[ 7\cdot4-4=24,\quad 7-3\cdot4=-5; \] \[ (-11)(-2)-(-2)=22+2=24,\quad -11-3\cdot(-2)=-5. \]
Эмне үчүн эки жолу тең жыйынтык бирдей? Кайсы өзгөрмөнү туюнтсаңыз да, алмаштыруу бир эле чечимдер жыйындысын берет. Жөн гана \(y=\frac{x+5}{3}\) деген туюнтма бөлчөк болуп чыгат, ал эми \(x=3y-5\) бүтүн туюнтма — ошондуктан биринчи жолу эсептөө жеңилирээк. Тандоо эркин, бирок бөлчөксүз туюнтманы тандаган ыңгайлуу.
Алмаштыруу ыкмасы менен иштеп бериңиз
Алмаштыруу ыкмасы менен таза иштелип чыккан чыгарылыш:
\[ \begin{cases} xy-y=24,\\ x-3y=-5. \end{cases} \]
1-кадам. Биринчи теңдемени көбөйтүүчүлөргө ажыратабыз: \[ xy-y=y(x-1)=24. \]
2-кадам. Экинчи теңдемеден \(x\) ти туюнтабыз (алмаштыруу үчүн): \[ x=3y-5. \]
3-кадам. \(x-1\) ти \(y\) аркылуу жазабыз — бул алмаштырууга даярдык: \[ x-1=(3y-5)-1=3y-6=3(y-2). \]
4-кадам. Алынган туюнтманы \(y(x-1)=24\) теңдемесине коёбуз: \[ y\cdot 3(y-2)=24. \]
5-кадам. Жөнөкөйлөтөбүз: \[ 3y(y-2)=24 \quad\Rightarrow\quad y(y-2)=8 \quad\Rightarrow\quad y^{2}-2y-8=0. \]
6-кадам. Квадрат теңдемени чыгарабыз: \[ (y-4)(y+2)=0 \quad\Rightarrow\quad y_{1}=4,\quad y_{2}=-2. \]
7-кадам. Ар бир \(y\) үчүн \(x=3y-5\) формуласы боюнча \(x\) ти табабыз: \[ y=4:\quad x=3\cdot4-5=7; \] \[ y=-2:\quad x=3\cdot(-2)-5=-11. \]
Жооп: \((7;4)\) жана \((-11;-2)\).
Текшерүү: \[ 7\cdot4-4=28-4=24,\qquad 7-3\cdot4=7-12=-5; \] \[ (-11)\cdot(-2)-(-2)=22+2=24,\qquad -11-3\cdot(-2)=-11+6=-5. \]
Ыкманын маңызы: бир теңдемеден бир белгисизди экинчиси аркылуу туюнтуп (\(x=3y-5\)), аны экинчи теңдемеге коёбуз. Ошентип бир белгисиздүү теңдеме калат — аны чыгарып, табылган маанилерди кайра коюп, экинчи белгисизди табабыз. Бул жерде \(x-1\) ди дароо \(3(y-2)\) деп жазуу эсепти кыйла кыскартты.
