НОК и НОД

Кратко

• НОД — наибольший общий делитель: самое большое число, на которое делятся оба числа без остатка.
• НОК — наименьшее общее кратное: самое маленькое число, которое делится на оба числа.

Покажу принцип на примере \(12\) и \(18\), а потом подставь свои числа.

Способ 1. Перебор

НОД. Выписываем делители каждого числа и ищем самый большой общий:

\[ 12:\ 1, 2, 3, 4, 6, 12 \qquad 18:\ 1, 2, 3, 6, 9, 18 \]

Общие: \(1, 2, 3, 6\). Самый большой — \(\text{НОД}(12,18)=6\).

НОК. Выписываем кратные, пока не встретится одно и то же число:

\[ 12:\ 12, 24, 36, 48, \dots \qquad 18:\ 18, 36, 54, \dots \]

Первое совпадение — \(\text{НОК}(12,18)=36\).

Способ 2. Разложение на простые множители (быстрее)

\[ 12 = 2\cdot 2\cdot 3 = 2^{2}\cdot 3, \qquad 18 = 2\cdot 3\cdot 3 = 2\cdot 3^{2} \]

• НОД — берём только общие множители, каждый в меньшей степени: \[ \text{НОД} = 2\cdot 3 = 6 \]
• НОК — берём все множители, каждый в наибольшей степени: \[ \text{НОК} = 2^{2}\cdot 3^{2} = 4\cdot 9 = 36 \]

Правило-шпаргалка: НОД — «общее и поменьше», НОК — «всё и побольше».

Проверка

Работает замечательное равенство:

\[ \text{НОД}(a,b)\cdot \text{НОК}(a,b) = a\cdot b \]

Проверяем: \(6\cdot 36 = 216\) и \(12\cdot 18 = 216\). Совпало — значит, оба числа найдены верно.

Ещё быстрая проверка по смыслу: НОД всегда не больше меньшего числа (\(6 \le 12\)), а НОК всегда не меньше большего (\(36 \ge 18\)). Если получилось наоборот — где-то ошибка.

Пришли свои числа — решу с ними по шагам и проверю.