Дроби с нуля

Краткий ответ

Дробь \(\frac{a}{b}\) — это деление \(a\) на \(b\): нижнее число (знаменатель) говорит, на сколько частей поделили целое, верхнее (числитель) — сколько таких частей взяли. Почти всё в дробях держится на одном правиле: числитель и знаменатель можно умножить или разделить на одно и то же ненулевое число — значение дроби не изменится. Из него растут и сокращение, и общий знаменатель.

1. Главное свойство дроби

\[ \frac{a}{b}=\frac{a\cdot c}{b\cdot c} \]

Пример: \(\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{50}{100}\) — это одна и та же половина.

Сокращение — делим оба числа на их общий делитель: \[ \frac{12}{18}=\frac{12:6}{18:6}=\frac{2}{3} \] Дробь сокращена до конца, когда числитель и знаменатель больше не имеют общих делителей, кроме 1.

2. Общий знаменатель

Чтобы складывать и сравнивать дроби, приводим их к общему знаменателю — обычно это наименьшее общее кратное знаменателей.

\[ \frac{3}{4}\ \text{и}\ \frac{5}{6}\quad\Rightarrow\quad \frac{9}{12}\ \text{и}\ \frac{10}{12} \] (общий знаменатель 12: первую дробь домножили на 3, вторую — на 2).

3. Сложение и вычитание

Одинаковые знаменатели — работаем только с числителями: \[ \frac{2}{7}+\frac{3}{7}=\frac{5}{7} \]

Разные знаменатели — сначала общий знаменатель: \[ \frac{1}{6}+\frac{3}{8}=\frac{4}{24}+\frac{9}{24}=\frac{13}{24} \]

Вычитание так же: \[ \frac{5}{6}-\frac{3}{8}=\frac{20}{24}-\frac{9}{24}=\frac{11}{24} \]

Важно: знаменатели не складываем — \(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\neq\frac{2}{5}\), а \(\frac{5}{6}\).

4. Умножение

Числитель на числитель, знаменатель на знаменатель: \[ \frac{2}{9}\cdot\frac{3}{8}=\frac{2\cdot 3}{9\cdot 8}=\frac{6}{72}=\frac{1}{12} \]

Хитрость: сокращать можно до умножения — \(\frac{2}{9}\cdot\frac{3}{8}\): двойка и 8 дают \(\frac{1}{4}\), тройка и 9 дают \(\frac{1}{3}\), остаётся \(\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{12}\).

5. Деление

Делить на дробь — то же, что умножать на перевёрнутую: \[ \frac{3}{5}:\frac{9}{10}=\frac{3}{5}\cdot\frac{10}{9}=\frac{30}{45}=\frac{2}{3} \]

6. Смешанные числа

Перед умножением и делением переводим в неправильную дробь: целую часть умножаем на знаменатель и прибавляем числитель. \[ 1\frac{2}{3}+2\frac{1}{4}=\frac{5}{3}+\frac{9}{4}=\frac{20}{12}+\frac{27}{12}=\frac{47}{12}=3\frac{11}{12} \]

7. Сравнение

Приводим к общему знаменателю и смотрим на числители: \[ \frac{3}{7}\ \text{и}\ \frac{4}{9}\quad\Rightarrow\quad \frac{27}{63}<\frac{28}{63}\quad\Rightarrow\quad \frac{3}{7}<\frac{4}{9} \]

8. Как проверить себя

• Переведи ответ в десятичную дробь и прикинь на калькуляторе: \(\frac{13}{24}\approx 0{,}54\), а \(\frac{1}{6}+\frac{3}{8}\approx 0{,}17+0{,}375=0{,}545\) — сходится.
• Проверь, нельзя ли сократить: \(\frac{11}{24}\) — 11 простое, 24 на 11 не делится, значит дробь окончательная.
• В ответе не должно быть неправильной дроби «в чистом виде», если просят смешанное число: \(\frac{47}{12}=3\frac{11}{12}\).

Порядок действий на любом примере

1. Смешанные числа → неправильные дроби.
2. Определи действие: при \(+\) и \(-\) нужен общий знаменатель, при \(\cdot\) и \(:\) — нет.
3. Выполни действие по правилу.
4. Сократи и выдели целую часть.
5. Прикинь значение — ответ должен попасть в разумный диапазон.