Как рисовать круги

Это не украшение, а «склад чисел»: каждый круг — это все ребята с данным устройством (вместе с теми, у кого есть и то и другое).

Шаг 1. Рисуем рамку

Чертим прямоугольник — это все 100 шестиклассников. В углу рамки (снаружи кругов) пишем 100 — как подпись «здесь всего 100 человек».

Шаг 2. Два пересекающихся круга

Внутри рамки — два круга, и они должны перекрываться (пересекаться), а не стоять отдельно и не касаться друг друга:

+-----------------------------------+
|  100                              |
|      ( П )        ( С )           |
|     /     \      /     \          |
|    |  7    | 71 |   14  |         |
|     \     /      \     /          |
|      (___________X______)         |
|                                   |
|              8                    |
+-----------------------------------+

• левый круг подписываем П (планшет),
• правый — С (смартфон).

Пиши подписи над кругами или сбоку от них, а не внутри — внутри будут числа.

Шаг 3. Заполняем числа — строго в этом порядке

1. Серединка (пересечение) — сюда идёт 71. Это те, у кого есть и планшет, и смартфон.
2. Левая свободная часть — \(78 - 71 = 7\). Это «только планшет».
3. Правая свободная часть — \(85 - 71 = 14\). Это «только смартфон».
4. Вне кругов, внутри рамки — 8. Это те, у кого нет ничего.

Почему именно так? Потому что число 78 — это весь левый круг целиком, вместе с серединкой. Поэтому «только планшет» получаем вычитанием.

Шаг 4. Проверка прямо на рисунке

\[ 7 + 71 + 14 + 8 = 100 \]

Сошлось с условием — значит, круги заполнены верно.

Как записать в тетрадь

Пиши так (это и есть «по образцу»):

Дано: всего — 100 учеников; планшет — 78; смартфон — 85; ни одного — 8.

Найти: сколько учеников имеют и планшет, и смартфон.

Решение:

1. \(100 - 8 = 92\) (уч.) — имеют хотя бы одно устройство.
2. Пусть \(x\) — число учеников, у которых есть и планшет, и смартфон. Тогда \[ 78 + 85 - x = 92 \] \[ 163 - x = 92 \] \[ x = 163 - 92 = 71 \]

Ответ: 71 ученик.

Ниже — сам рисунок с числами (шаги 1–4), подпись «Рисунок» не обязательна.

Главная ошибка, которую делают чаще всего

Пишут 78 в левый круг и 85 в правый целиком — тогда 71 попадёт в счёт дважды, и сумма станет \(78 + 85 + 8 = 171\), что больше 100. Поэтому в круги вписывают не «78» и «85», а «7» и «14» плюс общую серединку 71.

Если хочешь, скажи, какие числа в твоей задаче на самом деле (сколько всего детей и сколько без устройств) — сверим, что рисунок заполнен под твоё условие.

Давай буквально по шагам — что делать карандашом

Ничего понимать не нужно, просто повторяй движения.

Рисунок

1. Возьми циркуль, разведи ножки примерно на 3 см (6 клеток).

2. Поставь иголку в точку и начерти окружность. Получился левый круг.

3. Не меняя раствор циркуля, отступи вправо примерно на 3 см и поставь иголку. Начерти второй круг. Он наполовину наедет на первый — посередине получится «линза». Это и есть пересечение.

4. Обведи всё это прямоугольником (рамкой) — рамка означает «весь класс».

5. Пиши числа строго в таком порядке:

• в «линзу» (серединку) — 71;
• в левую свободную часть — 7 (потому что \(78 - 71 = 7\));
• в правую свободную часть — 14 (потому что \(85 - 71 = 14\));
• в рамку, но вне кругов — 8.

Над левым кругом напиши П, над правым — С.

 +---------------------------------+
 | 100                             |
 |    ( П )         ( С )          |
 |   /     \       /     \         |
 |  |   7   |  71  |  14  |        |
 |   \     /       \     /         |
 |    (_____X_______)              |
 |                                 |
 |           8                     |
 +---------------------------------+

Ровность не важна. Важно только одно: круги должны пересекаться, а не стоять отдельно.

Запись в тетрадь — ровно 4 строки

Дано: всего 100; планшет — 78; смартфон — 85; ни одного — 8.

Решение:

1. \(100 - 8 = 92\) — имеют хоть одно устройство.
2. \(78 + 85 - 92 = 71\) — имеют и то, и другое.

Ответ: 71 ученик.

Всё. Вторая строка — это и есть весь фокус: сложили оба числа и вычли тех, у кого есть устройство.

Скажи, на каком именно шаге застрял — на рисовании кругов или на том, какое число куда писать, — и я разберу только его.

В пересечении (в «линзе» посередине) пиши 71 — это те ребята, у кого есть и планшет, и смартфон.

Как это число получается:

1. Сначала узнаём, сколько всего детей имеют хоть одно устройство: \[ 100 - 8 = 92 \]
2. Потом складываем оба круга и убираем лишний счёт: \[ 78 + 85 = 163 \] \[ 163 - 92 = 71 \]

То есть серединка — это не какое-то отдельное данное из условия, её всегда вычисляют: «сумма обоих кругов минус те, у кого есть хотя бы одно устройство».

Проверка по рисунку:

• только планшет: \(78 - 71 = 7\);
• только смартфон: \(85 - 71 = 14\);
• оба: 71;
• ничего: 8.

\[ 7 + 14 + 71 + 8 = 100 \]

Сошлось — значит, 71 в пересечении стоит правильно.

Формула

Для двух множеств (круги Эйлера):

\[ |A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| \]

Читается так: «в объединении = в первом + во втором − в пересечении».

А чтобы найти само пересечение:

\[ |A \cap B| = |A| + |B| - |A \cup B| \]

Решение (запись в тетрадь)

Дано: всего учеников — 100; имеют планшет — 78; имеют смартфон — 85; не имеют ни одного — 8.

Найти: сколько учеников имеют и планшет, и смартфон.

Решение:

1. Сколько учеников имеют хотя бы одно устройство: \[ |A \cup B| = 100 - 8 = 92 \]

2. Подставляем в формулу: \[ |A \cap B| = 78 + 85 - 92 \] \[ |A \cap B| = 163 - 92 = 71 \]

Проверка: только планшет \(78 - 71 = 7\); только смартфон \(85 - 71 = 14\); \[ 7 + 71 + 14 + 8 = 100 \]

Ответ: 71 ученик имеет и планшет, и смартфон.

Обозначения для рисунка

\(A\) — круг «планшет», \(B\) — круг «смартфон». В пересечении пишем 71, в левой части 7, в правой 14, вне кругов 8.

Формула

\[ |A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| \]

где \(A\) — множество «есть планшет», \(B\) — «есть смартфон»: \(|A \cup B|\) — имеют хотя бы одно устройство, \(|A \cap B|\) — имеют и то, и другое (пересечение).

Отсюда рабочая формула для пересечения:

\[ |A \cap B| = |A| + |B| - |A \cup B| \]

Решение

Дано: всего — 100 учеников; планшет — 78; смартфон — 85; ни одного — 8.

Найти: \(|A \cap B|\) — сколько имеют и планшет, и смартфон.

Решение:

1. Имеют хотя бы одно устройство: \[ |A \cup B| = 100 - 8 = 92 \]

2. Обозначим \(|A \cap B| = x\) и подставим в формулу: \[ 92 = 78 + 85 - x \] \[ 92 = 163 - x \] \[ x = 163 - 92 = 71 \]

3. Проверка: \[ (78 - 71) + 71 + (85 - 71) + 8 = 7 + 71 + 14 + 8 = 100 \]

Ответ: 71 ученик имеет и планшет, и смартфон.

На рисунке это число стоит в пересечении кругов, 7 — в левой части, 14 — в правой, 8 — вне кругов.

Формула с буквами П и С

Пусть П — множество учеников, у которых есть планшет, С — множество учеников, у которых есть смартфон.

Тогда:

\[ |\text{П} \cup \text{С}| = |\text{П}| + |\text{С}| - |\text{П} \cap \text{С}| \]

• \(|\text{П} \cup \text{С}|\) — есть хотя бы одно устройство (планшет или смартфон);
• \(|\text{П} \cap \text{С}|\) — есть и планшет, и смартфон (пересечение кругов).

Отсюда формула для пересечения:

\[ |\text{П} \cap \text{С}| = |\text{П}| + |\text{С}| - |\text{П} \cup \text{С}| \]

Решение

Дано: всего — 100 учеников; \(|\text{П}| = 78\); \(|\text{С}| = 85\); ни одного устройства — 8.

Найти: \(|\text{П} \cap \text{С}|\).

Решение:

1. Есть хотя бы одно устройство: \[ |\text{П} \cup \text{С}| = 100 - 8 = 92 \]

2. Подставляем в формулу: \[ |\text{П} \cap \text{С}| = 78 + 85 - 92 \] \[ |\text{П} \cap \text{С}| = 163 - 92 = 71 \]

3. Проверка по частям кругов: \[ |\text{П}| - |\text{П} \cap \text{С}| = 78 - 71 = 7 \quad \text{(только планшет)} \] \[ |\text{С}| - |\text{П} \cap \text{С}| = 85 - 71 = 14 \quad \text{(только смартфон)} \] \[ 7 + 71 + 14 + 8 = 100 \]

Ответ: \(|\text{П} \cap \text{С}| = 71\) — у 71 ученика есть и планшет, и смартфон.

Формула с буквами П и С

Обозначим:

• \(\text{П}\) — множество учеников, у которых есть планшет, \(|\text{П}| = 78\);
• \(\text{С}\) — множество учеников, у которых есть смартфон, \(|\text{С}| = 85\);
• \(\text{П} \cap \text{С}\) — у кого есть и планшет, и смартфон (пересечение кругов);
• \(\text{П} \cup \text{С}\) — у кого есть хотя бы одно из двух устройств.

Основная формула:

\[ |\text{П} \cup \text{С}| = |\text{П}| + |\text{С}| - |\text{П} \cap \text{С}| \]

Отсюда формула для пересечения:

\[ |\text{П} \cap \text{С}| = |\text{П}| + |\text{С}| - |\text{П} \cup \text{С}| \]

Решение

Дано: всего — 100 учеников; \(|\text{П}| = 78\); \(|\text{С}| = 85\); ни одного устройства — 8.

Найти: \(|\text{П} \cap \text{С}|\).

Решение:

1. Сколько учеников имеют хотя бы одно устройство: \[ |\text{П} \cup \text{С}| = 100 - 8 = 92 \]

2. Подставляем в формулу: \[ |\text{П} \cap \text{С}| = 78 + 85 - 92 \] \[ |\text{П} \cap \text{С}| = 163 - 92 = 71 \]

3. Проверка по кругам: \[ (78 - 71) + 71 + (85 - 71) + 8 = 7 + 71 + 14 + 8 = 100 \]

Ответ: \(|\text{П} \cap \text{С}| = 71\) — 71 ученик имеет и планшет, и смартфон.

На рисунке: в пересечении кругов \(\text{П}\) и \(\text{С}\) пишем 71, в левой свободной части — 7, в правой — 14, вне кругов — 8.

Честно: сам расчёт верен — при данных «всего 100, планшет 78, смартфон 85, ни одного 8» ответ 71 получается и по формуле, и по проверке \(7+71+14+8=100\).

Но сверить с твоей классной работой я не могу — тетради я не вижу, а числа 100 / 78 / 85 / 8 я взял из условия, которое разбирали в этом чате. Поэтому:

• если в тетради те же числа — да, решение и формула \(|\text{П}\cup\text{С}| = |\text{П}| + |\text{С}| - |\text{П}\cap\text{С}|\) оформлены так, как обычно требуют;
• если хотя бы одно число в условии другое — ответ изменится, и запись надо пересчитать.

Пришли фото страницы с образцом (или просто перепиши числа из условия) — я сверю построчно и поправлю оформление под твой образец.

В пересечении (в «линзе» посередине) пиши число 71.

Это те ученики, у кого есть и планшет, и смартфон.

Если учитель просит подписать — можно рядом с числом поставить \(\text{П} \cap \text{С}\), но само число обязательно: 71.

Как оно получается:

\[ |\text{П} \cap \text{С}| = |\text{П}| + |\text{С}| - |\text{П} \cup \text{С}| = 78 + 85 - 92 = 71 \]

Проверка по всем частям рисунка:

• только планшет: \(78 - 71 = 7\);
• только смартфон: \(85 - 71 = 14\);
• пересечение: 71;
• ни одного: 8.

\[ 7 + 71 + 14 + 8 = 100 \]

Если в твоём условии другие числа — скажи их, и я пересчитаю, какое число писать в пересечении.

В пересечении кругов (в серединке, где круги накладываются друг на друга) пиши 71.

Это те ученики, у которых есть и планшет, и смартфон — число из ответа.

Как оно получается:

\[ |\text{П} \cap \text{С}| = 78 + 85 - 92 = 71 \]

По остальным местам рисунка:

• только планшет: \(78 - 71 = 7\);
• только смартфон: \(85 - 71 = 14\);
• пересечение (серединка): 71;
• вне кругов, в рамке: 8.

Проверка: \(7 + 71 + 14 + 8 = 100\).

Нет, 8 в пересечение писать нельзя — это число означает совсем другое.

8 — это ученики, у которых нет ни планшета, ни смартфона. Они не входят ни в один круг, поэтому их место — вне кругов, но внутри рамки.

Что будет, если всё-таки поставить 8 в серединку

Тогда получится, что «и то и другое» есть только у 8 человек, и:

• только планшет: \(78 - 8 = 70\);
• только смартфон: \(85 - 8 = 77\);
• оба: 8.

А всего с хоть одним устройством: \[ 70 + 8 + 77 = 155 \]

Но в классе всего 100 человек — 155 быть не может. Да и по формуле: \[ |\text{П} \cup \text{С}| = 78 + 85 - 8 = 155 \] а должно быть \(100 - 8 = 92\). Противоречие.

Как запомнить, что куда

Правило простое: 8 — это «пусто», поэтому оно всегда снаружи кругов. А в пересечении стоит то, что посчитали по формуле: \(78 + 85 - 92 = 71\).

Нет, 8 в пересечение писать нельзя — это число из другого места рисунка.

8 — это те, у кого нет ни одного устройства. Они стоят вне обоих кругов, но внутри рамки (в рамке — весь класс, 100 человек).

Что будет, если всё-таки поставить 8 в серединку

Тогда пришлось бы считать так:

• только планшет: \(78 - 8 = 70\);
• только смартфон: \(85 - 8 = 77\);
• оба устройства: 8.

И тех, у кого есть хотя бы одно устройство, стало бы \[ 70 + 77 + 8 = 155 \] Но в классе всего 100 человек — 155 быть не может.

А по формуле получилось бы: \[ |\text{П} \cup \text{С}| = 78 + 85 - 8 = 155 \] тогда «ни одного» было бы \[ 100 - 155 = -45 \] Отрицательного числа учеников не бывает — значит, 8 в пересечении стоит неправильно.

Почему правильное число именно 71

Серединку всегда вычисляют, а не берут из условия: \[ |\text{П} \cap \text{С}| = 78 + 85 - 92 = 71 \]

Проверка: только планшет 7, только смартфон 14, оба 71, ни одного 8 — \[ 7 + 71 + 14 + 8 = 100. \]

Так что 71 — в пересечение, 8 — вне кругов.