129. Упростите выражение: а) (x² - 10x + 25)/(3x + 12) · (x² - 16)/(2x - 10)

Кратко: \[ \begin{aligned} \text{а)}&\ \frac{(x-5)(x-4)}{6},& \text{б)}&\ \frac{(a+1)(a+2b)}{12},\\ \text{в)}&\ \frac{3(y-5)}{2(y+6)},& \text{г)}&\ \frac{b+2}{9b}. \end{aligned} \]

При допустимых значениях переменных: а) \(x\ne-4,\ x\ne5\); б) \(a\ne1,\ a\ne-2b\); в) \(y\ne-6,\ y\ne-5\); г) \(b\ne0,\ b\ne-\frac32\).

Как это делать. Нужно разложить числители и знаменатели на множители, а затем сократить общие множители. Используются формулы: \[ a^2-b^2=(a-b)(a+b),\qquad a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2, \] \[ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2). \]

Решение по пунктам.

а) \[ \frac{x^2-10x+25}{3x+12}\cdot\frac{x^2-16}{2x-10} = \frac{(x-5)^2}{3(x+4)}\cdot\frac{(x-4)(x+4)}{2(x-5)} = \frac{(x-5)(x-4)}{6}. \]

б) \[ \frac{1-a^2}{4a+8b}\cdot\frac{a^2+4ab+4b^2}{3-3a} = \frac{(1-a)(1+a)}{4(a+2b)}\cdot\frac{(a+2b)^2}{3(1-a)} = \frac{(a+1)(a+2b)}{12}. \]

в) \[ \frac{y^2-25}{y^2+12y+36}\cdot\frac{3y+18}{2y+10} = \frac{(y-5)(y+5)}{(y+6)^2}\cdot\frac{3(y+6)}{2(y+5)} = \frac{3(y-5)}{2(y+6)}. \]

г) \[ \frac{b^3+8}{18b^2+27b}\cdot\frac{2b+3}{b^2-2b+4} = \frac{(b+2)(b^2-2b+4)}{9b(2b+3)}\cdot\frac{2b+3}{b^2-2b+4} = \frac{b+2}{9b}. \]

Главное: сокращать можно только множители, а не отдельные слагаемые. Ограничения из первоначальных знаменателей сохраняются, даже если после сокращения соответствующий множитель исчез.

Проверка для а) при \(x=0\): \[ \frac{25}{12}\cdot\frac{-16}{-10}=\frac{10}{3}, \qquad \frac{(-5)(-4)}{6}=\frac{10}{3}. \] Значит, упрощение верное.