2 варианты

Question

2 варианты

Расшифровка фото нейросетью:
I вариант

1. Теңдемені шешіңіз.
$x^4+5x^2-36=0$.

2. Теңдеулердің жүйесін шешіңіз.
$$
\begin{cases}
xy-x=4\
2x+y=7
\end{cases}
$$

3. Функцияның нөлдерін табыңыз.
$y=x^3+2x^2-x-2$.

4. Системаның шешімін табыңыз.
$$
\begin{cases}
\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{5}{6}\
x+y=5
\end{cases}
$$

5. Мәселені шешіңіз.
Тік бұрыштың периметрі 22 см, ал оның ауданы 30 см². Тік бұрыштың қабырғаларын табыңыз.

II вариант

1. Теңдемені шешіңіз.
$x^4+8x^2-9=0$.

2. Теңдеулердің жүйесін шешіңіз.
$$
\begin{cases}
xy-y=24\
x-3y=-5
\end{cases}
$$

3. Функцияның нөлдерін табыңыз.
$y=x^3-x^2-9x+9$.

4. Системаның шешімін табыңыз.
$$
\begin{cases}
\frac{1}{y}-\frac{1}{x}=\frac{1}{6}\
x-y=1
\end{cases}
$$

5. Мәселені шешіңіз.
Тік бұрыштың периметрі 18 см, ал оның ауданы 20 см². Тік бұрыштың қабырғаларын табыңыз.

Answer

В I варианте №2 первую строку читаю как $xy-x=4$.

Краткие ответы

Вариант |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |

I |
$x=\pm2$ |
$(1;5), (2;3)$ |
$x=-2,-1,1$ |
$(2;3), (3;2)$ |
5 см и 6 см |

II |
$x=\pm1$ |
$(7;4), (-11;-2)$ |
$x=-3,1,3$ |
$(-2;-3), (3;2)$ |
4 см и 5 см |

Пары записаны в виде $(x;y)$.

1. Биквадратные уравнения

Общий приём: замена $t=x^2$, причём $t\ge0$.

I вариант:
$$
t^2+5t-36=0
$$
Корни $t=4$ и $t=-9$. Отрицательный $t$ не подходит, значит $x^2=4$, то есть $x=\pm2$.

II вариант:
$$
t^2+8t-9=0
$$
Корни $t=1$ и $t=-9$. Поэтому $x^2=1$, то есть $x=\pm1$.

2. Системы уравнений

I вариант:
$$
\begin{cases}
xy-x=4,\
2x+y=7.
\end{cases}
$$
Из второго уравнения $y=7-2x$. Тогда
$$
x(7-2x-1)=4 \Rightarrow x(6-2x)=4
$$
$$
x^2-3x+2=0 \Rightarrow x=1 \text{ или } x=2.
$$
Отсюда $y=5$ или $y=3$.

II вариант:
$$
\begin{cases}
xy-y=24,\
x-3y=-5.
\end{cases}
$$
Из второго уравнения $x=3y-5$. Первое уравнение:
$$
y(x-1)=24.
$$
Подставляем $x=3y-5$:
$$
y(3y-6)=24 \Rightarrow y^2-2y-8=0.
$$
Корни $y=4$ и $y=-2$, значит $x=7$ и $x=-11$.

3. Нули функции

Нули функции — это решения уравнения $y=0$.

I вариант:
$$
x^3+2x^2-x-2=x^2(x+2)-(x+2)=(x+2)(x^2-1).
$$
Отсюда $x=-2,-1,1$.

II вариант:
$$
x^3-x^2-9x+9=x^2(x-1)-9(x-1)=(x-1)(x^2-9).
$$
Отсюда $x=-3,1,3$.

4. Системы с дробями

I вариант: $x\ne0,\ y\ne0$.
$$
\frac1x+\frac1y=\frac{x+y}{xy}=\frac5{xy}=\frac56,
$$
поэтому $xy=6$. Вместе с $x+y=5$ получаем, что $x$ и $y$ — корни уравнения
$$
t^2-5t+6=0,
$$
то есть $2$ и $3$. Подходят оба порядка.

II вариант: $x\ne0,\ y\ne0$.
$$
\frac1y-\frac1x=\frac{x-y}{xy}=\frac1{xy}=\frac16,
$$
поэтому $xy=6$. При $x-y=1$ имеем $x=y+1$:
$$
(y+1)y=6 \Rightarrow y^2+y-6=0.
$$
Корни $y=2$ и $y=-3$, значит $x=3$ и $x=-2$.

5. Задачи о прямоугольнике

Пусть стороны прямоугольника $a$ и $b$.

I вариант: $2(a+b)=22$, $ab=30$, то есть
$$
a+b=11,\quad ab=30.
$$
Корни уравнения $t^2-11t+30=0$ — это $5$ и $6$. Стороны: 5 см и 6 см.

II вариант: $2(a+b)=18$, $ab=20$, то есть
$$
a+b=9,\quad ab=20.
$$
Корни уравнения $t^2-9t+20=0$ — это $4$ и $5$. Стороны: 4 см и 5 см.

Проверка: $2(5+6)=22$, $5\cdot6=30$; $2(4+5)=18$, $4\cdot5=20$. Найденные пары также обращают исходные системы в верные равенства.

Вариант	1	2	3	4	5
I	\(x=\pm2\)	\((1;5), (2;3)\)	\(x=-2,-1,1\)	\((2;3), (3;2)\)	5 см и 6 см
II	\(x=\pm1\)	\((7;4), (-11;-2)\)	\(x=-3,1,3\)	\((-2;-3), (3;2)\)	4 см и 5 см