2) (3x+1)/2 - (4x+2)/5 = 4
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
- \[\frac{3x+1}{2}-\frac{4x+2}{5}=4\]
Ответ: \(x=\dfrac{39}{7}=5\dfrac{4}{7}\).
С фотографии я прочитал уравнение так:
\[ \frac{3x+1}{2}-\frac{4x+2}{5}=4 \]
Как решать
1. Убираем знаменатели. Общий знаменатель дробей — 10 (это НОК чисел 2 и 5). Умножаем на 10 обе части уравнения — равенство не нарушится:
\[ 10\cdot\frac{3x+1}{2}-10\cdot\frac{4x+2}{5}=10\cdot 4 \]
\[ 5(3x+1)-2(4x+2)=40 \]
2. Раскрываем скобки. Здесь главная ловушка — минус перед второй скобкой: он относится ко всей скобке, поэтому знаки внутри неё меняются.
\[ 15x+5-8x-4=40 \]
3. Приводим подобные слагаемые.
\[ 7x+1=40 \]
\[ 7x=39 \]
\[ x=\frac{39}{7}=5\frac{4}{7} \]
Проверка
Подставляем \(x=\frac{39}{7}\):
\[ 3x+1=\frac{117}{7}+1=\frac{124}{7},\qquad \frac{124}{7}:2=\frac{62}{7} \]
\[ 4x+2=\frac{156}{7}+2=\frac{170}{7},\qquad \frac{170}{7}:5=\frac{34}{7} \]
\[ \frac{62}{7}-\frac{34}{7}=\frac{28}{7}=4 \]
Получили 4 — значит, корень найден верно.
Принцип для похожих заданий: сначала избавляемся от знаменателей умножением на их общий знаменатель, затем аккуратно раскрываем скобки (особенно после минуса), приводим подобные и в конце обязательно подставляем ответ в исходное уравнение.
Обсуждение
2 сообщенияА если в начале все уравнение умножить на четыре
Да, так можно — уравнение от этого не испортится: обе части можно умножать на любое ненулевое число, равенство сохранится. Но число 4 — не общее кратное знаменателей 2 и 5, поэтому одна дробь останется, и умножать придётся ещё раз. Решение просто станет на шаг длиннее.
Как это выглядит
\[ \frac{3x+1}{2}-\frac{4x+2}{5}=4 \quad \Big|\cdot 4 \]
\[ \frac{4(3x+1)}{2}-\frac{4(4x+2)}{5}=16 \]
Двойка сокращается, а пятёрка — нет:
\[ 2(3x+1)-\frac{4(4x+2)}{5}=16 \]
Теперь умножаем на 5, чтобы убрать оставшийся знаменатель:
\[ 5\cdot 2(3x+1)-4(4x+2)=80 \]
\[ 30x+10-16x-8=80 \]
\[ 14x+2=80 \]
\[ 14x=78 \]
\[ x=\frac{78}{14}=\frac{39}{7}=5\frac{4}{7} \]
Ответ тот же самый.
В чём смысл
Умножение на 4 и на 5 подряд — это то же самое, что сразу умножить на \(4\cdot 5=20\). Поэтому быстрее брать общее кратное всех знаменателей (лучше наименьшее — НОК): тогда все дроби исчезают за один шаг. Для знаменателей 2 и 5 это как раз 10, а 20 тоже подойдёт — числа получатся крупнее, но ответ не изменится.
Проверка: \(x=\frac{39}{7}\) мы уже подставляли в исходное уравнение — получается 4, значит корень верный.
