Алгебра на 03.11 (Вт): № 186, 188 (б,д), 285 (а,б) 8 класс(фото учебника на картинке)

На фото видны № 187–191, поэтому могу сразу решить № 188 (б, д). А № 186 и № 285 (а, б) в кадр не попали — пришли их фото, без условий их не решить.

№ 188 (б)

\[ y=-\frac{2}{x} \]

Это гипербола, \(k=-2<0\), значит ветви расположены во II и IV четвертях. Оси координат — асимптоты, \(x\neq 0\).

\(x\)	\(-4\)	\(-2\)	\(-1\)	\(-0{,}5\)	\(0{,}5\)	\(1\)	\(2\)	\(4\)
\(y\)	\(\frac12\)	\(1\)	\(2\)	\(4\)	\(-4\)	\(-2\)	\(-1\)	\(-\frac12\)

Нанеси эти точки и соедини их плавной линией отдельно в II и отдельно в IV четверти.

№ 188 (д)

\[ y=\frac{1}{2x} \]

Здесь \(k=\frac12>0\), поэтому ветви гиперболы лежат в I и III четвертях.

\(x\)	\(-4\)	\(-2\)	\(-1\)	\(-\frac12\)	\(\frac12\)	\(1\)	\(2\)	\(4\)
\(y\)	\(-\frac18\)	\(-\frac14\)	\(-\frac12\)	\(-1\)	\(1\)	\(\frac12\)	\(\frac14\)	\(\frac18\)

Точка \(x=0\) не входит в область определения: график через неё не проходит.

Пришли фото страниц с № 186 и № 285 (а, б) — решу и их.

№ 188 (д): \(y=\dfrac{1}{2x}\)

Считаем так: подставляем \(x\) в формулу \(y=\dfrac{1}{2x}\).

Например, при \(x=2\): \(y=\dfrac{1}{2\cdot 2}=\dfrac14\). При \(x=-\dfrac12\): \(y=\dfrac{1}{2\cdot(-\frac12)}=\dfrac{1}{-1}=-1\).

\(x\)	\(-4\)	\(-2\)	\(-1\)	\(-\frac12\)	\(\frac12\)	\(1\)	\(2\)	\(4\)
\(y\)	\(-\frac18\)	\(-\frac14\)	\(-\frac12\)	\(-1\)	\(1\)	\(\frac12\)	\(\frac14\)	\(\frac18\)

Точки для графика:

\[ \left(-4;-\tfrac18\right),\ \left(-2;-\tfrac14\right),\ \left(-1;-\tfrac12\right),\ \left(-\tfrac12;-1\right),\ \left(\tfrac12;1\right),\ \left(1;\tfrac12\right),\ \left(2;\tfrac14\right),\ \left(4;\tfrac18\right) \]

Ветви гиперболы — в I и III четвертях, точка \(x=0\) не входит в область определения.

Вот № 285 (а, б) по действиям.

№ 285 (а)

\[ \left(1-\frac{3x^2}{1-x^2}\right):\left(\frac{x}{x+1}+1\right) \]

Действие 1. Приводим первую скобку к общему знаменателю:

\[ 1-\frac{3x^2}{1-x^2} =\frac{1-x^2}{1-x^2}-\frac{3x^2}{1-x^2} =\frac{1-4x^2}{1-x^2}. \]

Раскладываем на множители:

\[ 1-4x^2=(1-2x)(1+2x), \qquad 1-x^2=(1-x)(1+x). \]

Получаем:

\[ \frac{(1-2x)(1+2x)}{(1-x)(1+x)}. \]

Действие 2. Упрощаем вторую скобку:

\[ \frac{x}{x+1}+1 =\frac{x}{x+1}+\frac{x+1}{x+1} =\frac{2x+1}{x+1}. \]

Действие 3. Выполняем деление — умножаем на перевёрнутую дробь:

\[ \frac{(1-2x)(1+2x)}{(1-x)(1+x)} \cdot \frac{x+1}{2x+1}. \]

Так как \(2x+1=1+2x\), сокращаем:

\[ \frac{(1-2x)(1+2x)}{(1-x)(1+x)} \cdot \frac{1+x}{1+2x} = \frac{1-2x}{1-x}. \]

Ответ:

\[ \boxed{\frac{1-2x}{1-x}} \]

Область допустимых значений:

\[ x\neq -1,\quad x\neq 1,\quad x\neq -\frac12. \]

---

№ 285 (б)

\[ \left(\frac{a+b}{b}-\frac{a}{a+b}\right):\left(\frac{a+b}{a}-\frac{b}{a+b}\right) \]

Действие 1. Упрощаем первую скобку. Общий знаменатель \(b(a+b)\):

\[ \frac{a+b}{b}-\frac{a}{a+b} = \frac{(a+b)^2-ab}{b(a+b)}. \]

Раскрываем квадрат:

\[ (a+b)^2-ab =a^2+2ab+b^2-ab =a^2+ab+b^2. \]

Значит,

\[ \frac{a+b}{b}-\frac{a}{a+b} = \frac{a^2+ab+b^2}{b(a+b)}. \]

Действие 2. Упрощаем вторую скобку. Общий знаменатель \(a(a+b)\):

\[ \frac{a+b}{a}-\frac{b}{a+b} = \frac{(a+b)^2-ab}{a(a+b)} = \frac{a^2+ab+b^2}{a(a+b)}. \]

Действие 3. Делим первую дробь на вторую:

\[ \frac{a^2+ab+b^2}{b(a+b)} : \frac{a^2+ab+b^2}{a(a+b)} = \frac{a^2+ab+b^2}{b(a+b)} \cdot \frac{a(a+b)}{a^2+ab+b^2}. \]

Сокращаем одинаковые множители:

\[ =\frac{a}{b}. \]

Ответ:

\[ \boxed{\frac{a}{b}} \]

Область допустимых значений:

\[ a\neq 0,\quad b\neq 0,\quad a+b\neq 0. \]

Пункт в) в домашнем задании не указан, поэтому его не решаю. Если нужен и он — скажи.

№ 285 (а) — вся цепочка дробей

\[ \left(1-\frac{3x^{2}}{1-x^{2}}\right):\left(\frac{x}{x+1}+1\right) \]

Первая скобка — единицу записываем как дробь \(\dfrac{1-x^{2}}{1-x^{2}}\):

\[ 1-\frac{3x^{2}}{1-x^{2}} =\frac{1-x^{2}}{1-x^{2}}-\frac{3x^{2}}{1-x^{2}} =\frac{1-x^{2}-3x^{2}}{1-x^{2}} =\frac{1-4x^{2}}{1-x^{2}} \]

Раскладываем на множители:

\[ \frac{1-4x^{2}}{1-x^{2}} =\frac{(1-2x)(1+2x)}{(1-x)(1+x)} \]

Вторая скобка — единицу записываем как \(\dfrac{x+1}{x+1}\):

\[ \frac{x}{x+1}+1 =\frac{x}{x+1}+\frac{x+1}{x+1} =\frac{x+x+1}{x+1} =\frac{2x+1}{x+1} \]

Деление — переворачиваем вторую дробь:

\[ \frac{(1-2x)(1+2x)}{(1-x)(1+x)}:\frac{2x+1}{x+1} =\frac{(1-2x)(1+2x)}{(1-x)(1+x)}\cdot\frac{x+1}{2x+1} \]

Сокращаем \(\,1+2x\,\) с \(\,2x+1\,\) и \(\,1+x\,\) с \(\,x+1\,\):

\[ \boxed{\frac{1-2x}{1-x}} \]

Тот же ответ в другом виде (умножили числитель и знаменатель на \(-1\)):

\[ \frac{1-2x}{1-x}=\frac{2x-1}{x-1} \]

Ограничения: \(x\neq 1,\; x\neq -1,\; x\neq -\dfrac12\).

№ 285 (б) — подробное объяснение

\[ \left(\frac{a+b}{b}-\frac{a}{a+b}\right):\left(\frac{a+b}{a}-\frac{b}{a+b}\right) \]

Главная идея: в каждой скобке получается один и тот же числитель \(a^2+ab+b^2\). Поэтому при делении он сократится.

Действие 1. Первая скобка

Складывать дроби можно только с одинаковыми знаменателями, поэтому приводим к общему знаменателю \(b(a+b)\): первую дробь домножаем на \((a+b)\), вторую — на \(b\).

\[ \frac{a+b}{b}-\frac{a}{a+b} =\frac{(a+b)(a+b)}{b(a+b)}-\frac{ab}{b(a+b)} =\frac{(a+b)^{2}-ab}{b(a+b)} \]

Раскрываем квадрат суммы:

\[ (a+b)^{2}-ab=a^{2}+2ab+b^{2}-ab=a^{2}+ab+b^{2} \]

Получаем:

\[ \frac{a^{2}+ab+b^{2}}{b(a+b)} \]

Действие 2. Вторая скобка

То же самое, только общий знаменатель \(a(a+b)\):

\[ \frac{a+b}{a}-\frac{b}{a+b} =\frac{(a+b)^{2}-ab}{a(a+b)} =\frac{a^{2}+ab+b^{2}}{a(a+b)} \]

Числитель оказался точно такой же — это и есть «зацепка» задачи.

Действие 3. Деление

Делить на дробь — значит умножить на перевёрнутую:

\[ \frac{a^{2}+ab+b^{2}}{b(a+b)}:\frac{a^{2}+ab+b^{2}}{a(a+b)} =\frac{a^{2}+ab+b^{2}}{b(a+b)}\cdot\frac{a(a+b)}{a^{2}+ab+b^{2}} \]

Теперь сокращаем одинаковый числитель \(a^2+ab+b^2\) и одинаковый множитель \((a+b)\):

\[ =\frac{a}{b} \]

Ответ:

\[ \boxed{\frac{a}{b}} \]

Проверка на числах

Возьмём \(a=1,\ b=2\).

Первая скобка: \(\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{9}{6}-\dfrac{2}{6}=\dfrac{7}{6}\).

Вторая скобка: \(\dfrac{3}{1}-\dfrac{2}{3}=3-\dfrac{2}{3}=\dfrac{7}{3}\).

Деление: \(\dfrac{7}{6}:\dfrac{7}{3}=\dfrac{7}{6}\cdot\dfrac{3}{7}=\dfrac{1}{2}\), а \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{1}{2}\). Всё сходится.

Ограничения

Знаменатели не равны нулю:

\[ b\neq 0,\qquad a\neq 0,\qquad a+b\neq 0 \]

Выражение \(a^{2}+ab+b^{2}\) при действительных \(a\) и \(b\), не равных нулю одновременно, в ноль не обращается, так что на него сокращать можно безопасно.