реши все задачи и объясни их решение

Question

Расшифровка фото нейросетью:
УПРАЖНЕНИЕ 21

1. Определите скорость искусственного спутника Земли, если он движется по круговой орбите на высоте 2600 км над поверхностью Земли. ($M_{\mathrm{З}} = 6 \cdot 10^{24}$ кг.)

2. Если бы на круговую орбиту вблизи поверхности Луны был выведен искусственный спутник, то он двигался бы со скоростью 1,67 км/с. Определите радиус Луны, если известно, что ускорение свободного падения на её поверхности равно 1,6 м/с².

3. На каком расстоянии от Земли сила всемирного тяготения, действующая на тело, будет в 3 раза меньше, чем на поверхности Земли?

4. Ракета, пущенная вертикально вверх, поднялась на высоту 3200 км над поверхностью Земли и начала падать. Какой путь пройдёт ракета за первую секунду своего падения?

Answer

Разбираю четыре расчётные задачи упражнения 21. Принимаю табличные данные: $R_{\mathrm{З}}\approx6400$ км, $G=6{,}67\cdot10^{-11}\ \text{Н}\cdot\text{м}^2/\text{кг}^2$, $g_0\approx9{,}8$ м/с².

Краткие ответы:

1. $\approx6{,}7$ км/с;

2. $\approx1{,}74\cdot10^3$ км;

3. $\approx4{,}7\cdot10^3$ км над поверхностью Земли, или $\approx1{,}1\cdot10^4$ км от центра Земли;

4. $\approx2{,}2$ м.

1. Скорость спутника на высоте 2600 км

На спутник действует сила тяжести, она же сообщает центростремительное ускорение:

$$
\frac{GMm}{r^2}=\frac{mv^2}{r}
$$

Отсюда:

$$
v=\sqrt{\frac{GM}{r}}
$$

где $r=R+h$ — расстояние от центра Земли. Высота $h=2600$ км, поэтому:

$$
r=6400+2600=9000\ \text{км}=9{,}0\cdot10^6\ \text{м}
$$

$$
v=\sqrt{\frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot6\cdot10^{24}}{9{,}0\cdot10^6}}
\approx6{,}67\cdot10^3\ \text{м/с}
$$

То есть:

$$
v\approx6{,}7\ \text{км/с}
$$

Ответ: примерно $6{,}7$ км/с.

2. Радиус Луны

Для спутника у самой поверхности Луны сила тяжести является центростремительной силой:

$$
mg_{\mathrm{Л}}=\frac{mv^2}{R_{\mathrm{Л}}}
$$

Отсюда:

$$
R_{\mathrm{Л}}=\frac{v^2}{g_{\mathrm{Л}}}
$$

Переводим скорость:

$$
v=1{,}67\ \text{км/с}=1670\ \text{м/с}
$$

$$
R_{\mathrm{Л}}=\frac{1670^2}{1{,}6}
\approx1{,}74\cdot10^6\ \text{м}
$$

$$
R_{\mathrm{Л}}\approx1{,}74\cdot10^3\ \text{км}
$$

Ответ: примерно $1740$ км.

3. Расстояние, где сила тяготения в 3 раза меньше

Сила тяготения:

$$
F=\frac{GMm}{r^2}
$$

На поверхности Земли $r=R$, на высоте $h$ расстояние от центра:

$$
r=R+h
$$

Нужно:

$$
\frac{F_{\text{пов}}}{F}=3
$$

То есть:

$$
\frac{(R+h)^2}{R^2}=3
$$

$$
R+h=R\sqrt3
$$

$$
h=R(\sqrt3-1)
$$

$$
h\approx6400\cdot(1{,}732-1)\approx4685\ \text{км}
$$

То есть примерно:

$$
h\approx4{,}7\cdot10^3\ \text{км}
$$

Если считать расстояние от центра Земли:

$$
r=R\sqrt3\approx1{,}1\cdot10^4\ \text{км}
$$

Ответ: около $4{,}7\cdot10^3$ км над поверхностью Земли, или $1{,}1\cdot10^4$ км от её центра.

4. Путь ракеты за первую секунду падения

На высоте $h=3200$ км ускорение свободного падения меньше, чем у поверхности:

$$
g_h=G\frac{M}{(R+h)^2}
$$

Через $g_0=GM/R^2$:

$$
g_h=g_0\left(\frac{R}{R+h}\right)^2
$$

При $R=6400$ км и $h=3200$ км:

$$
R+h=9600\ \text{км}
$$

$$
g_h=9{,}8\left(\frac{6400}{9600}\right)^2
=9{,}8\left(\frac23\right)^2
\approx4{,}36\ \text{м/с}^2
$$

За первую секунду ракета ещё почти не успевает изменить высоту, поэтому $g_h$ можно считать постоянным. Начальная скорость равна нулю:

$$
s=\frac{g_h t^2}{2}
$$

$$
s=\frac{4{,}36\cdot1^2}{2}\approx2{,}18\ \text{м}
$$

Ответ: примерно $2{,}2$ м.

Проверка: скорость $6{,}7$ км/с меньше первой космической скорости у поверхности Земли $7{,}9$ км/с — это логично для большей высоты. Радиус Луны $1740$ км близок к известному значению. На высоте 3200 км ускорение действительно примерно в $2{,}25$ раза меньше, чем у поверхности, поэтому путь за 1 с чуть больше 2 м.