реши все задачи и объясни их решение
Сверь числа и знаки с фото.
УПРАЖНЕНИЕ 21
Определите скорость искусственного спутника Земли, если он движется по круговой орбите на высоте 2600 км над поверхностью Земли. (\(M_3=6\cdot10^{24}\) кг.)
Если бы на круговую орбиту вблизи поверхности Луны был выведен искусственный спутник, то он двигался бы со скоростью 1,67 км/с. Определите радиус Луны, если известно, что ускорение свободного падения на её поверхности равно 1,6 м/с².
На каком расстоянии от Земли сила всемирного тяготения, действующая на тело, будет в 3 раза меньше, чем на поверхности Земли?
Ракета, пущенная вертикально вверх, поднялась на высоту 3200 км над поверхностью Земли и начала падать. Какой путь пройдёт ракета за первую секунду своего падения?
Беру 4 расчётные задачи из «Упражнения 21». Принял радиус Земли \(R=6{,}4\cdot10^6\) м, \(G=6{,}67\cdot10^{-11}\), \(g_0\approx9{,}8\) м/с².
Краткие ответы:
- \(6{,}7\) км/с
- \(1{,}74\cdot10^3\) км
- примерно \(4{,}7\cdot10^3\) км над поверхностью Земли; от центра Земли — \(1{,}1\cdot10^4\) км
- примерно \(2{,}2\) м
1. Скорость спутника на высоте 2600 км
На спутник действует сила тяготения, она сообщает центростремительное ускорение:
\[ G\frac{mM}{r^2}=\frac{mv^2}{r} \]
Отсюда масса спутника \(m\) сокращается:
\[ v=\sqrt{\frac{GM}{r}} \]
Здесь \(r\) — расстояние от центра Земли:
\[ r=R+h=6{,}4\cdot10^6+2{,}6\cdot10^6=9{,}0\cdot10^6\text{ м} \]
Подставляем:
\[ v=\sqrt{\frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot6\cdot10^{24}}{9{,}0\cdot10^6}} \approx6{,}7\cdot10^3\text{ м/с} \]
Ответ: \(v\approx6{,}7\) км/с.
2. Радиус Луны
Спутник движется почти у самой поверхности Луны, поэтому радиус орбиты примерно равен радиусу Луны \(R\).
Условие кругового движения:
\[ g=\frac{v^2}{R} \]
Тогда:
\[ R=\frac{v^2}{g} \]
Переводим скорость в м/с:
\[ v=1{,}67\text{ км/с}=1{,}67\cdot10^3\text{ м/с} \]
\[ R=\frac{(1{,}67\cdot10^3)^2}{1{,}6} \approx1{,}74\cdot10^6\text{ м} \]
Ответ: радиус Луны примерно \(1{,}74\cdot10^3\) км. Это близко к реальному значению около 1737 км.
3. Где сила тяготения в 3 раза меньше?
На поверхности Земли расстояние от центра равно \(R\). На высоте \(h\):
\[ r=R+h \]
Сила тяготения обратно пропорциональна квадрату расстояния:
\[ F=\frac{GMm}{r^2} \]
По условию:
\[ \frac{F_{\text{пов}}}{F}=\frac{(R+h)^2}{R^2}=3 \]
Значит:
\[ \frac{R+h}{R}=\sqrt3 \]
\[ h=R(\sqrt3-1) \]
\[ h\approx6400\cdot(1{,}732-1)\approx4{,}7\cdot10^3\text{ км} \]
Ответ: примерно \(4{,}7\cdot10^3\) км над поверхностью Земли. Если считать расстояние от центра Земли, то:
\[ r=R\sqrt3\approx1{,}1\cdot10^4\text{ км} \]
4. Путь ракеты за первую секунду падения
На высоте \(3200\) км расстояние от центра Земли:
\[ r=R+h=6400+3200=9600\text{ км} \]
Ускорение свободного падения на этой высоте:
\[ g=g_0\left(\frac{R}{r}\right)^2 \]
\[ g=9{,}8\cdot\left(\frac{6400}{9600}\right)^2 =9{,}8\cdot\left(\frac23\right)^2 \approx4{,}4\text{ м/с}^2 \]
Ракета начинает падать из состояния покоя, поэтому:
\[ s=\frac{gt^2}{2} \]
При \(t=1\) с:
\[ s\approx\frac{4{,}4\cdot1^2}{2}\approx2{,}2\text{ м} \]
За первую секунду высота меняется очень мало, поэтому ускорение можно считать практически постоянным.
Ответ: примерно \(2{,}2\) м.
Общий принцип: во всех задачах используется один закон — всемирного тяготения \(F=G\frac{mM}{r^2}\). Для спутника сила тяготения играет роль центростремительной силы, а для падения тела она создаёт ускорение \(g=\frac{GM}{r^2}\).
