Рассмотри изображение вместе с последним сообщением и историей диалога. Сначала определи, это продолжение текущей учебной цели или самостоятельное новое задание.

Ответ: 55.

Решение по шагам:

1. Числитель, первое произведение — при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываем: \[ 2^{-3}\cdot 2^{2}=2^{-3+2}=2^{-1}=\frac{1}{2} \]

2. Второе произведение: \[ 5^{3}\cdot 5^{-2}=5^{3-2}=5^{1}=5 \]

3. Вся сумма в числителе: \[ \frac{1}{2}+5=5{,}5 \]

4. Знаменатель — при делении показатели вычитаем: \[ 10^{-1}:10^{0}=10^{-1-0}=10^{-1}=0{,}1 \]

5. Делим числитель на знаменатель: \[ \frac{5{,}5}{0{,}1}=5{,}5\cdot 10=55 \]

В поле ввода можно записать просто 55.

Принцип на будущее: одинаковое основание → действия со степенями сводятся к сложению/вычитанию показателей; отрицательный показатель \(a^{-n}\) означает \(\frac{1}{a^{n}}\).

Ответ: 45.

Решение: \[ \frac{3^{-7}}{5^{2}}\cdot\frac{5^{3}}{3^{-9}} =\frac{3^{-7}\cdot 5^{3}}{5^{2}\cdot 3^{-9}} =3^{-7-(-9)}\cdot 5^{3-2} =3^{2}\cdot 5^{1} =9\cdot 5=45 \]

Кратко: сгруппируй степени с одинаковым основанием. При делении показатели вычитаются:

• для тройки: \(-7-(-9)=2\);
• для пятёрки: \(3-2=1\).

В поле ввода пиши 45.

Ответ: 6,75.

Решение по шагам:

1. Избавляемся от отрицательных показателей: \[ 2^{-2}=\frac{1}{2^{2}}=\frac{1}{4}, \qquad 3^{-3}=\frac{1}{3^{3}}=\frac{1}{27} \]

2. Подставляем в дробь: \[ \frac{2^{-2}}{3^{-3}}=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{27}}=\frac{1}{4}\cdot\frac{27}{1}=\frac{27}{4} \]

3. Переводим в десятичную дробь: \[ \frac{27}{4}=\frac{27\cdot 25}{4\cdot 25}=\frac{675}{100}=6{,}75 \]

В поле ввода можно записать 6,75 (или 6.75, если сервис требует точку).

Проверка: \(6{,}75\cdot\frac{1}{27}=\frac{675}{100\cdot 27}=\frac{25}{100}=\frac{1}{4}=2^{-2}\) — сходится.

Принцип: отрицательный показатель «переворачивает» степень: \(a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\). При делении на дробь \(\frac{1}{b}\) выходит умножение на \(b\), поэтому такой пример быстро сводится к \(\frac{b^{n}}{a^{m}}\).

Ответ: 2940 (в стандартном виде это \(2{,}94\cdot 10^{3}\)).

Решение по шагам:

1. Перемножаем числовые множители: \[ 9{,}8\cdot 3=29{,}4 \]

2. Перемножаем степени десятки — показатели складываются: \[ 10^{-2}\cdot 10^{4}=10^{-2+4}=10^{2}=100 \]

3. Соединяем: \[ 29{,}4\cdot 100=2940 \]

В поле ввода пиши 2940 — там просят целое число или десятичную дробь, а не запись со степенью.

Проверка через стандартный вид: \(29{,}4=2{,}94\cdot 10^{1}\), значит \[ 2{,}94\cdot 10^{1}\cdot 10^{2}=2{,}94\cdot 10^{3}=2940 \] — сходится.

Принцип: при умножении чисел в стандартном виде отдельно перемножают множители перед степенями и отдельно складывают показатели. Если получившийся множитель вышел за пределы от 1 до 10, его «подгоняют»: сдвиг запятой на один знак влево увеличивает показатель степени на 1.

Ответ: 18.

Это та же тема — свойства степеней с целым показателем, поэтому решаем тем же способом: раскладываем основания на простые множители.

1. Раскладываем на простые множители: \[ 12=2^{2}\cdot 3, \qquad 27=3^{3} \]

2. Возводим в степень — показатель степени умножается на показатели множителей: \[ 12^{8}=\left(2^{2}\cdot 3\right)^{8}=2^{16}\cdot 3^{8} \] \[ 27^{2}=\left(3^{3}\right)^{2}=3^{6} \]

3. Подставляем в дробь: \[ \frac{12^{8}}{27^{2}\cdot 2^{15}} =\frac{2^{16}\cdot 3^{8}}{3^{6}\cdot 2^{15}} \]

4. Сокращаем одинаковые основания (при делении показатели вычитаются): \[ 2^{16-15}\cdot 3^{8-6}=2^{1}\cdot 3^{2}=2\cdot 9=18 \]

Проверка: \(18\cdot 27^{2}\cdot 2^{15}=2\cdot 3^{2}\cdot 3^{6}\cdot 2^{15}=2^{16}\cdot 3^{8}=12^{8}\) — сходится.

В поле ввода пиши 18 (это целое число).