1. В параллелограмме ABCD разность двух углов, прилежащих к одной стороне, равна 50°. Найдите все углы параллелограмма.
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Часть А (Базовый уровень)
В параллелограмме \(ABCD\) разность двух углов, прилежащих к одной стороне, равна \(50^\circ\). Найдите все углы параллелограмма.
В прямоугольнике \(ABCD\) диагонали пересекаются в точке \(O\), причем \(AC = 16\) см. Найдите длину отрезка \(OD\).
Меньшее основание равнобедренной трапеции равно её боковой стороне. Найдите углы трапеции, если её периметр равен 44 см, а большее основание равно 17 см.
Часть Б (Повышенный уровень) 4. В ромбе \(ABCD\) угол \(A\) равен \(60^\circ\). Диагональ \(AC\) равна 12 см. Найдите периметр ромба. 5. Докажите, что если в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм является квадратом.
На фото пять задач — решаю все.
Краткие ответы
- Углы параллелограмма: \(65^\circ,\ 115^\circ,\ 65^\circ,\ 115^\circ\).
- \(OD=8\) см.
- Острые углы при большем основании: \(\arccos\frac{4}{9}\approx 63{,}6^\circ\); тупые: \(180^\circ-\arccos\frac{4}{9}\approx 116{,}4^\circ\).
- Периметр ромба: \(16\sqrt{3}\) см.
- Утверждение доказано: параллелограмм является квадратом.
Разбор
1. Параллелограмм
Соседние углы параллелограмма в сумме дают \(180^\circ\). Пусть это \(\alpha\) и \(\beta\), причём \(\alpha>\beta\):
\[ \alpha+\beta=180^\circ,\qquad \alpha-\beta=50^\circ. \]
Складываем уравнения:
\[ 2\alpha=230^\circ \Rightarrow \alpha=115^\circ, \]
тогда
\[ \beta=180^\circ-115^\circ=65^\circ. \]
Противоположные углы равны, поэтому все углы: \(65^\circ,\ 115^\circ,\ 65^\circ,\ 115^\circ\).
Проверка: \(115^\circ-65^\circ=50^\circ\).
2. Прямоугольник
В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам.
\[ BD=AC=16\text{ см}, \]
а \(O\) — середина \(BD\), поэтому
\[ OD=\frac{BD}{2}=8\text{ см}. \]
3. Равнобедренная трапеция
Пусть боковая сторона и меньшее основание равны \(x\). Тогда периметр:
\[ 17+x+2x=44. \]
\[ 3x=27 \Rightarrow x=9\text{ см}. \]
Значит, меньшее основание равно \(9\) см, а каждая боковая сторона — \(9\) см.
Опустим высоты из концов меньшего основания. Большее основание делится на три части:
\[ \frac{17-9}{2}=4\text{ см}. \]
В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна \(9\), прилежащий катет равен \(4\), поэтому для острого угла \(\alpha\) при большем основании:
\[ \cos\alpha=\frac{4}{9}. \]
Значит,
\[ \alpha=\arccos\frac{4}{9}\approx 63{,}6^\circ. \]
Тупой угол:
\[ 180^\circ-\alpha\approx 116{,}4^\circ. \]
Проверка периметра: \(17+9+9+9=44\) см.
4. Ромб
В ромбе диагонали перпендикулярны и делят углы пополам. Пусть диагонали пересекаются в точке \(O\).
\[ AO=\frac{AC}{2}=6\text{ см}. \]
Так как \(\angle A=60^\circ\), то
\[ \angle OAB=30^\circ. \]
Треугольник \(AOB\) прямоугольный. В нём \(AO\) — прилежащий катет, \(AB\) — гипотенуза:
\[ \cos 30^\circ=\frac{AO}{AB}. \]
\[ \frac{\sqrt3}{2}=\frac{6}{AB} \Rightarrow AB=\frac{12}{\sqrt3}=4\sqrt3\text{ см}. \]
Все стороны ромба равны, поэтому
\[ P=4\cdot 4\sqrt3=16\sqrt3\text{ см}. \]
Проверка: длинная диагональ ромба равна \(\sqrt3\cdot AB=\sqrt3\cdot 4\sqrt3=12\) см.
5. Доказательство
Пусть диагонали параллелограмма \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\).
В параллелограмме диагонали делятся точкой пересечения пополам:
\[ AO=OC,\qquad BO=OD. \]
По условию диагонали равны:
\[ AC=BD. \]
Значит, равны и их половины:
\[ AO=BO=CO=DO. \]
Диагонали перпендикулярны, поэтому все четыре маленьких треугольника при точке \(O\) — прямоугольные и равнобедренные. Их острые углы равны по \(45^\circ\).
Тогда каждый угол параллелограмма складывается из двух углов по \(45^\circ\):
\[ 45^\circ+45^\circ=90^\circ. \]
Кроме того, все стороны четырёхугольника равны. Параллелограмм, у которого все углы прямые и все стороны равны, является квадратом.
