1. В параллелограмме ABCD разность двух углов, прилежащих к одной стороне, равна 50°. Найдите все углы параллелограмма.
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Часть А (Базовый уровень)
- В параллелограмме \(ABCD\) разность двух углов, прилежащих к одной стороне, равна 50°. Найдите все углы параллелограмма.
- В прямоугольнике \(ABCD\) диагонали пересекаются в точке \(O\), причем \(AC = 16\) см. Найдите длину отрезка \(OD\).
- Меньшее основание равнобедренной трапеции равно её боковой стороне. Найдите углы трапеции, если её периметр равен 44 см, а большее основание равно 17 см.
Часть Б (Повышенный уровень) 4. В ромбе \(ABCD\) угол \(A\) равен 60°. Диагональ \(AC\) равна 12 см. Найдите периметр ромба. 5. Докажите, что если в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм является квадратом.
Краткие ответы
- Два угла по \(65^\circ\), два — по \(115^\circ\).
- \(OD=8\) см.
- Углы при большем основании: \(\alpha=\arccos\left(\frac{4}{9}\right)\approx63{,}6^\circ\); при меньшем: \(180^\circ-\alpha\approx116{,}4^\circ\).
- \(P=16\sqrt{3}\) см \(\approx27{,}7\) см.
- Доказательство ниже.
1. Параллелограмм
Соседние углы параллелограмма в сумме дают \(180^\circ\). Пусть меньший угол \(x\), тогда больший \(x+50^\circ\): \[ x+(x+50^\circ)=180^\circ \Rightarrow x=65^\circ. \] Значит, больший угол \(65^\circ+50^\circ=115^\circ\). Противоположные углы равны: получаем \(65^\circ,115^\circ,65^\circ,115^\circ\).
2. Прямоугольник
В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Поэтому \[ BD=AC=16\text{ см},\qquad OD=\frac{BD}{2}=8\text{ см}. \]
3. Трапеция
Пусть меньшее основание и боковая сторона равны \(x\). Тогда периметр: \[ 17+x+2x=44 \Rightarrow 3x=27 \Rightarrow x=9\text{ см}. \] Опустим высоты. Проекция боковой стороны на большее основание: \[ \frac{17-9}{2}=4\text{ см}. \] В прямоугольном треугольнике гипотенуза \(9\), прилежащий к углу при большем основании катет \(4\), значит \[ \cos\alpha=\frac{4}{9}. \] Отсюда \(\alpha\approx63{,}6^\circ\), а тупой угол трапеции: \[ 180^\circ-\alpha\approx116{,}4^\circ. \]
4. Ромб
Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей, \(a\) — сторона ромба. Диагонали ромба перпендикулярны и делят его углы пополам, поэтому \[ AO=\frac{AC}{2}=6,\qquad \angle BAO=\frac{60^\circ}{2}=30^\circ. \] В прямоугольном треугольнике \(AOB\): \[ \cos30^\circ=\frac{AO}{AB}=\frac{6}{a}. \] Тогда \[ a=\frac{6}{\cos30^\circ}=\frac{6}{\sqrt3/2}=4\sqrt3. \] Периметр: \[ P=4a=16\sqrt3\text{ см}\approx27{,}7\text{ см}. \]
5. Доказательство
Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей параллелограмма. Диагонали параллелограмма делятся пополам: \[ AO=OC,\qquad BO=OD. \] Так как диагонали равны, \(AC=BD\), то \[ AO=BO=CO=DO. \] Диагонали перпендикулярны, поэтому треугольники \(AOB\), \(BOC\), \(COD\), \(DOA\) — прямоугольные и равнобедренные.
Из равенства катетов: \[ AB^2=AO^2+BO^2,\qquad BC^2=BO^2+CO^2, \] поэтому \(AB=BC=CD=DA\): перед нами ромб.
Кроме того, в равнобедренном прямоугольном треугольнике острые углы равны по \(45^\circ\). Значит, каждый угол параллелограмма равен \[ 45^\circ+45^\circ=90^\circ. \] Параллелограмм, у которого все стороны равны и все углы прямые, является квадратом.
Проверка: \(65^\circ+115^\circ=180^\circ\); \(17+9+9+9=44\); \(4\sqrt3\cdot\sqrt3=12\).
Обсуждение
4 сообщениясделай 3 задачу по другому,я еще не проходила косинусы
Задача 3 без косинуса
Пусть меньшее основание и боковая сторона равны \(x\). Тогда периметр:
\[ 17+x+x+x=44 \Rightarrow 3x=27 \Rightarrow x=9\text{ см}. \]
Значит, боковые стороны и меньшее основание равны по \(9\) см, а большее основание — \(17\) см.
Опустим высоты из концов меньшего основания. Большее основание разобьётся на три части:
\[ \frac{17-9}{2}=4,\quad 9,\quad 4\text{ см}. \]
Рассмотрим прямоугольный треугольник, где:
- гипотенуза — боковая сторона \(9\) см;
- один катет — \(4\) см;
- второй катет — высота \(h\).
По теореме Пифагора:
\[ h=\sqrt{9^2-4^2}=\sqrt{81-16}=\sqrt{65}. \]
Угол \(\alpha\) при большем основании — острый угол этого прямоугольного треугольника. В нём противолежащий катет \(\sqrt{65}\), прилежащий катет \(4\), поэтому
\[ \tan\alpha=\frac{\sqrt{65}}{4}. \]
По калькулятору или таблицам:
\[ \alpha\approx 63{,}6^\circ. \]
В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны, а соседние углы дают в сумме \(180^\circ\). Поэтому второй угол:
\[ 180^\circ-63{,}6^\circ=116{,}4^\circ. \]
Ответ: углы трапеции равны примерно
\[ 63{,}6^\circ,\quad 116{,}4^\circ,\quad 63{,}6^\circ,\quad 116{,}4^\circ. \]
То есть два угла по \(63{,}6^\circ\) при большем основании и два по \(116{,}4^\circ\) при меньшем.
Если вы ещё не проходили ни синусы, ни косинусы, ни тангенсы, то точный «красивый» угол здесь не получается: у этой трапеции угол не является табличным. Тогда стоит уточнить у учителя, можно ли пользоваться тригонометрией или калькулятором.
теорема пифагора я тоже не проходила
Ты права: моё прошлое решение всё равно опиралось на теорему Пифагора. Честно: без теоремы Пифагора и без синусов/косинусов точное значение угла здесь не выводится. Но без этих тем можно сделать так.
1. Найдём стороны
Пусть меньшее основание и каждая боковая сторона равны \(x\). Тогда \[ 17+x+x+x=44, \] \[ 3x=27,\qquad x=9\text{ см}. \] То есть меньшее основание и обе боковые стороны равны по \(9\) см.
2. Опустим высоты
Большее основание равно \(17\), меньшее — \(9\). Разность: \[ 17-9=8\text{ см}. \] Высоты отсекают с двух сторон одинаковые отрезки: \[ 8:2=4\text{ см}. \] Значит, с каждой стороны получился прямоугольный треугольник, у которого:
- гипотенуза — боковая сторона \(9\) см;
- один катет — \(4\) см.
3. Как найти угол без формул
Угол при большем основании — это острый угол такого прямоугольного треугольника. Без Пифагора и тригонометрии его можно найти построением и измерением транспортиром:
- Начерти отрезок \(4\) см.
- Из одного его конца проведи перпендикуляр.
- Из другого конца отрезка радиусом \(9\) см сделай засечку на перпендикуляре.
- Измерь угол между отрезком \(4\) см и гипотенузой \(9\) см.
Получится примерно \[ \alpha\approx 64^\circ. \]
Более точное значение: \[ \alpha\approx63{,}6^\circ. \]
4. Второй угол
В равнобедренной трапеции соседние углы в сумме дают \(180^\circ\): \[ 180^\circ-63{,}6^\circ=116{,}4^\circ. \]
Ответ:
\[
63{,}6^\circ,\quad 116{,}4^\circ,\quad 63{,}6^\circ,\quad 116{,}4^\circ.
\]
То есть при большем основании два угла примерно по \(63{,}6^\circ\), при меньшем — два по \(116{,}4^\circ\).
Если учитель требует не измерение, а точное вычисление, то эта задача в таком виде рассчитана на материал, который вы ещё не проходили. Возможно, в условии опечатка: если бы большее основание было \(18\) см, углы получились бы ровно \(60^\circ\) и \(120^\circ\).
