реши задачи
Сверь числа и знаки с фото.
УПРАЖНЕНИЕ 21
Определите скорость искусственного спутника Земли, если он движется по круговой орбите на высоте 2600 км над поверхностью Земли. (\(M_3 = 6\cdot 10^{24}\) кг.)
Если бы на круговую орбиту вблизи поверхности Луны был выведен искусственный спутник, то он двигался бы со скоростью 1,67 км/с. Определите радиус Луны, если известно, что ускорение свободного падения на её поверхности равно 1,6 м/с².
На каком расстоянии от Земли сила всемирного тяготения, действующая на тело, будет в 3 раза меньше, чем на поверхности Земли?
Ракета, пущенная вертикально вверх, поднялась на высоту 3200 км над поверхностью Земли и начала падать. Какой путь пройдёт ракета за первую секунду своего падения?
Беру упражнение 21, задачи 1–4. Принимаю \(R_З=6400\) км, \(G=6{,}67\cdot10^{-11}\ \text{Н}\cdot\text{м}^2/\text{кг}^2\), \(g\approx9{,}8\) м/с².
Краткие ответы
- \(v\approx6{,}7\cdot10^3\) м/с \(=6{,}7\) км/с.
- \(R_Л\approx1{,}7\cdot10^6\) м \(=1{,}7\cdot10^3\) км.
- От центра Земли \(r\approx1{,}1\cdot10^4\) км; высота над поверхностью \(h\approx4{,}7\cdot10^3\) км.
- \(s\approx2{,}2\) м.
Как это получается
1. Скорость спутника
Гравитация сообщает спутнику центростремительное ускорение:
\[ \frac{GM_Зm}{(R_З+h)^2}=\frac{mv^2}{R_З+h}. \]
Масса спутника \(m\) сокращается:
\[ v=\sqrt{\frac{GM_З}{R_З+h}}. \]
Радиус орбиты:
\[ R_З+h=6400+2600=9000\ \text{км}=9{,}0\cdot10^6\ \text{м}. \]
Подставляем:
\[ v=\sqrt{\frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot6\cdot10^{24}}{9{,}0\cdot10^6}} \approx6{,}7\cdot10^3\ \text{м/с}. \]
Ответ: примерно 6,7 км/с.
2. Радиус Луны
Вблизи поверхности Луны высота орбиты мала, поэтому радиус орбиты примерно равен радиусу Луны \(R_Л\).
Ускорение свободного падения является центростремительным:
\[ g=\frac{v^2}{R_Л}. \]
Отсюда:
\[ R_Л=\frac{v^2}{g}. \]
Переводим скорость в м/с:
\[ v=1{,}67\ \text{км/с}=1670\ \text{м/с}. \]
Тогда:
\[ R_Л=\frac{1670^2}{1{,}6} =\frac{2\,788\,900}{1{,}6} \approx1{,}74\cdot10^6\ \text{м}. \]
Ответ: примерно \(1{,}7\cdot10^3\) км, или около 1740 км.
3. Расстояние, на котором сила тяготения меньше в 3 раза
В законе всемирного тяготения расстояние \(r\) отсчитывается от центра Земли:
\[ F_0=\frac{GMm}{R_З^2} \]
на поверхности и
\[ F=\frac{GMm}{r^2} \]
на расстоянии \(r\) от центра.
По условию \(F\) в 3 раза меньше \(F_0\):
\[ \frac{F}{F_0}=\frac{R_З^2}{r^2}=\frac13. \]
Значит:
\[ r^2=3R_З^2, \]
\[ r=R_З\sqrt3\approx6400\cdot1{,}73\approx1{,}1\cdot10^4\ \text{км}. \]
Это расстояние от центра Земли. Высота над поверхностью:
\[ h=r-R_З\approx1{,}1\cdot10^4-6{,}4\cdot10^3 \approx4{,}7\cdot10^3\ \text{км}. \]
Ответ: около \(4{,}7\cdot10^3\) км над поверхностью Земли; если считать от центра Земли — около \(1{,}1\cdot10^4\) км.
4. Путь ракеты за первую секунду падения
На высоте \(h=3200\) км ускорение свободного падения меньше, чем у поверхности Земли:
\[ g_h=g\left(\frac{R_З}{R_З+h}\right)^2. \]
Подставляем:
\[ g_h=9{,}8\left(\frac{6400}{6400+3200}\right)^2 =9{,}8\left(\frac{6400}{9600}\right)^2 \approx4{,}36\ \text{м/с}^2. \]
Ракета начинает падать без начальной скорости, поэтому за время \(t=1\) с:
\[ s=\frac{g_ht^2}{2} =\frac{4{,}36\cdot1^2}{2} \approx2{,}18\ \text{м}. \]
Ответ: примерно 2,2 м.
Проверка: скорость спутника меньше первой космической \(7{,}9\) км/с; радиус Луны получается близким к настоящему; на высоте \(3200\) км ускорение меньше \(9{,}8\) м/с², поэтому путь за первую секунду меньше \(4{,}9\) м.
